Численный расчёт дискретных передаточных функций многомерных систем

 

Если известно уравнение состояния то можно получить уравнение состояния многомерной импульсной системы . При этом матрицы G, H΄, H определяются численно в виде рядов с использованием матриц А и В по приведённым выше формулам.

Реализация алгоритмов определения элементов  требует операции раскрытия определителей (смотри Пример № 3). Эту задачу можно решить или классически (по известным методам), или численно. При высоком порядке системы более эффективны численные методы Фадеева, Крылова, Леверрье.

Рассмотрим метод Фадеева:

Во-первых, определитель системы det ( z ) (2) является характеристическим многочленом матрицы G, следовательно:

Необходимо найти коэффициенты этого полинома: .

Алгоритм расчёта коэффициентов по Фадееву:

 

1 этап: 1 шаг: 2 шаг:   3 шаг:	2 этап: 1 шаг: 2 шаг:   3 шаг:
Предпоследний этап: 1 шаг: 2 шаг:   3 шаг:	Последний этап: 1 шаг: 2 шаг:   3 шаг:  (Контроль)

Пример № 4.

Рассмотрим систему второго порядка:

Поиск методом Фадеева:

 

1) , в котором неизвестны a ₁ и a ₀.

2) а) б)

в)

3) а)

 б)

 в) Контроль:

 

Во-вторых,  отличен от определителя системы (III^*)

Для расчёта коэффициента этого определителя можно использовать найденные значения коэффициентов a_i.

Пусть  (3)

 

                   (4)

 

Если подать на вход исходной системы (III^*) какой-либо известный входной сигнал y_p [ iT ], i = 0, 1, 2, … при нулевых остальных входных сигналах y ₁ [ iT ]= y ₂ [ iT ]=…= y_{p -1} [ iT ]= y_{p +1} [ iT ]=…=0 и при нулевых начальных условиях x ₁ [0]= x ₂ [0]=…=0, то путём непосредственных расчётов по системе (III^*) (смотри задачу семинара №2) можно последовательно получить значения x [ T ], x [2 T ], …, x [ iT ].

Если подать тот же самых сигнал Y_p на вход разностного уравнения (4) при нулевых начальных условиях (x [0]= x [– T ]=…=0), то дискреты x_q [ iT ] уравнения (4) совпадут с сигналами x_q [ iT ] вектора X [ iT ], расcчитанного по уравнению (III^*).

 

Тогда можно показать, что:

 

 

 

при входном сигнале    (*)

 

          (5)

 

Пример № 5.

 

Рассмотрим систему второго порядка, своего рода (III^*) при n =2.

 

Для системы второго порядка определить дискретную передаточную функцию  при нулевых начальных условиях.

 

Решение:

1) det ( z ) определён в примере № 4.

 

2) Составляем разностное уравнение p =2, n =2, q =1:

 

                                 (4΄)

 

3) Рассчитываем переходный процесс по исходной системе (III^*) при n =2:

i =0

 

(смотри условие (*)).

i = 1

 

4) Определяем коэффициенты:

.

 

Лекция №12. 25.03.2003

 

Частотные характеристики

 

Непрерывные системы

Рассмотрим ММ стационарной непрерывной системы:

 

(1)

Пусть

 

На основе формулы Эйлера ( ):

, начальные условия нулевые.

 

При нулевых начальных условиях решение уравнения (1) можно получить в виде двух слагаемых x ( t )= x ₁ ( t )+ x ₂ ( t ).

При этом с учётом принципа суперпозиции: x ₁ ( t ) y ₁ ( t ), x ₂ ( t ) y ₂ ( t ).

Найдём x ₁ ( t ):

, где W — пока неизвестная и не зависящая от времени функция.

Подставляя в уравнение (1) x ₁, y ₁ и их соответствующие производные, получим:

 

  …  (2)

 

Комплексно-частотную характеристику системы  можно получить передаточной функции путём замены переменной  (смотри уравнение (1) раздела 5.1.1.).

Комментарий:

 

, …  (3)

 

— вещественная частотная характеристика;  — мнимая частотная характеристика

 

Здесь:

 

Смотри методические указания, страница 18.

 

 

,          …    (4)

 

где — Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).

 — Фазово-частотная характеристика (ФЧХ).

 

Пример смотри в методических указаниях, рисунки 11 и 12.

При изменении  конец вектора  описывает кривую, называемую АФХ — амплитудно-фазовая характеристика или Катографом Найквиста (Рисунок 21 методических указаний).

Физический смысл частотной характеристики: частотная характеристика — результат анализа вынужденного движения линейной стационарной системы при гармоническом воздействии.

Таким образом, .

Аналогично можно определить составляющую

 

 воздействия y ₂ ( t ).

То есть .

… (5)

 

Таким образом, если на входе рассматриваемой системы действует гармонический входной сигнал, то выходной сигнал будет также гармоническим (Формула (5)) и отличающимся от входного по амплитуде в  раз, а по фазе на . Здесь  — АЧХ, а  — ФЧХ.

Замечание № 1:

Так как АФХ симметрична относительно вещественной оси  для положительных и отрицательных значений , то обычно ограничивают диапазон изменения : .

 

Замечание № 2:

Иногда вместо обычной АФХ  рассматривают нормированную АФХ  такую, что , где , а  — порядок астатизма системы, или обратную АФХ , или обратно нормированную АФХ .

 

Замечание № 3:

Очень часто вместо АФХ  используют Логарифмическую Частотную Характеристику (ЛЧХ).

а)  — ЛАЧХ.

б)  — ЛФЧХ.

По оси абсцисс соответственно отмеряются либо , либо .

Примеры в методических указаниях — рисунки 12, 22, 25 а)

Примеры нормированных ЛЧХ — рисунки 23 и 25 б).

 

Дискретные системы

Анализ вынужденного движения импульсной системы на воздействие y [ iT ]= Ycos [ω iT +φ₀], значение которого в дискретные моменты времени образуют гармоническую решетчатую последовательность, определяет частотные характеристики системы:

Частотная характеристика —

АФХ дискретной системы может быть получена из ДПФ путём замены переменной , т.е.

 

          

Особенности АФХ:

 — периодическая функция с периодом , поэтому её можно определить для любого интервала частот указанного периода ( )

ЛЧХ дискретных систем, в отличие от ЛЧХ непрерывных систем, не обладают асимптотическими свойствами.

Для восстановления указанного свойства используют билинейное W-преобразование , а также относительные ( ) и абсолютные ( ) псевдочастоты.

 

, т.е.

 и

 

Таким образом, при  имеем:  !

И при имеем: !!