Основные виды математических моделей

Математические модели могут быть:

1.) Линейными;

2.) Нелинейными

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) Непрерывной (система дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений);

2.) Дискретной (система разностных уравнений);

3.) Дискретно-непрерывной (сочетание непрерывной и дискретной систем).

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) Стационарной;

2.) Нестационарной.

Математическая модель нестационарна, если хотя бы один из параметров системы изменяется с течением времени.

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) С сосредоточенными параметрами;

2.) С сосредоточенными и распределёнными параметрами.

1.) Физические параметры системы (например, масса, скорость, потенциал и др.) обычно сосредоточены в точке (так можно считать), коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от этих параметров. В результате, математическая модель будет, например, системой дифференциальных уравнений в полных производных ( ).

2.) Если система содержит одну из подсистем (например, канал связи, трубопровод), параметры которой распределены в пространстве, то математическая модель такой системы будет содержать, например, систему дифференциальных уравнений в частных производных ( ).

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) Детерминированной;

2.) Стохастической или со случайными параметрами (если хотя бы один из параметров или воздействий является случайной функцией или величиной).

и др.

Математические модели в области вещественной переменной (временной области)

Дискретные математические модели

Решетчатые функции

Решетчатая функция (РФ) — функция, существующая в дискретны равноотстоящие друг от друга значения независимой переменной и равная нулю между этими значениями аргумента.

Пример такой функции:

смотри рисунок б) лекции №3.

     — РФ,

Функции f ( t ) соответствует функция ,  ( )

Одной и той же РФ соответствует множество огибающих непрерывных функций (смотри рисунок выше):

 — огибающие функции.

Если ввести безразмерное время , то  будет соответствовать РФ .

Решетчатую функцию характеризуют её разности и суммы

Разность может быть прямой ( ) и обратной ( ).

.

Аналогом интеграла непрерывной функции для РФ являются её суммы:

1) Полная ;

2) Неполная .

Разностные уравнения.

Связь между решетчатой функцией и её разностями устанавливают разностные уравнения, например:

Линейное разностное уравнение

(I΄)

Или через дискреты РФ:

(I)

Уравнение (I) — это алгоритм решения разностного уравнения при известных начальных условиях, воздействиях y и f и дискретах искомой РФ x в предшествующие моменты времени.

Коэффициенты уравнения (I) однозначно вычисляются из уравнения (I’).