Математические модели систем управления в комплексной области

Преобразование Фурье

Абсолютно интегрируемые непрерывные функции f ( t ), т.е. функции, удовлетворяющие условию    (1), можно представить в виде интеграла Фурье:

 

(2)

(3)

 

Это преобразование Фурье или комплексный спектр функции оригинала f ( t ).

Существуют функции, для которых не выполняется неравенство (1), например: [1( t )], e ^{-α t}, e ^{α t}, sin α t при α>0, tⁿ при n =1, 2, 3, … и др. Для них используют преобразование Лапласа, являющееся обобщением преобразования Фурье.

Преобразование Лапласа непрерывных функций

Рассмотрим f ₁ ( t )= f ( t ) e ^{- ct}, c = const такая, что:

 

 (4)

 

При этом для существования этого интеграла от функции f(t) пришлось потребовать выполнения условия f ( t )=0 t <0.

c > c ₀ (c ₀ — абсцисса абсолютной сходимости).

Для [1( t )] с₀=0

Для e ^{-α t}          с₀=α

Для e ^{α t}           с₀=-α

Для sin α t с₀=0

Тогда получим (5)

Это интеграл Лапласа или формула обращения в преобразовании Лапласа.

 

(6)

f ( t ) F ( s )

 

Нули и полюсы изображения F ( s )

F ( s ) — дробно рациональная функция.

Корни полиномов R ( s ) и Q ( s ) определяют свойства изображения или свойства этой функции.

 

Нули изображения F ( s )

Представим F ( s ) в следующем виде:

, а , значит F ( s ) имеет ноль кратности m в точке .

 

Полюса изображения F ( s )

Полюса изображения F ( s ) — это корни полинома знаменателя Q ( s ).

 

, где ,

 

а , т.е. изображение F ( s ) содержит полюс кратности n при .

На комплексной плоскости s нули обозначают “0”, а полюса “Х”.

Дискретное преобразование Лапласа

Данное преобразование применяется для решетчатых функций.

 

(7)

(7΄)

 

Z -преобразование

Введём новую комплексную переменную z = e^st, тогда (7) можно представить в следующем виде:

≜ (8)!!!!

s=c+j∞

 

Выбрав c> c ₀ ряд (8) будет сходиться, и решетчатой функции будет соответствовать Z-преобразование. f [ i ] F ( z ).

Z-преобразование применяют и к непрерывным функциям. При этом, если для РФ f [ i ] прямая и обратная задачи однозначны, то для непрерывной функции задача определения оригинала f [ i ] по его изображению не однозначна.

 

Основные свойства преобразования Лапласа и Z -преобразования

 

Свойства преобразования Лапласа	Свойства Z-преобразования
1. Свойство линейности:	1. Свойство линейности:
2. Теорема о конечном значении: Если функция s ∙ F ( s ) является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси, то	2. Теорема о конечном значении:
3. Теорема о начальном значении: Если , то	3. Теорема о начальном значении:
4. Теорема сдвига в области вещественной переменной: t - τ — запаздывание (по оси вправо). t + τ — упреждение (по оси влево).	4. Теорема сдвига в области вещественной переменной: , где k — целое число, кратное периоду дискретности.
5. Свойство дифференцирования: Если начальные условия нулевые, то
6. Свойство интегрирования: при нулевых начальных условиях
	7. Теорема свёртки:

 

Лекция №7. 04.03.2003

 

8. Задача определения оригинала функции по её изображению:

а) Непрерывные функции

Смотри формулу (5) из пункта № 4.1.2.2.

б) Дискретные математические модели (для решетчатых функций)

Так как F ( z ) дробно рациональная функция, то проще эту задачу решать так: разделив числитель на знаменатель, F ( z ) можно разложить в ряд Лорана по убывающим степеням, т.е.

Известно, что ≜

f ₀, f ₁, f ₂, … — дискреты искомой решетчатой функции f [ iT ].