Раздел 5. Основные характеристики систем

 

Передаточная функция

 

Непрерывные системы

Из выражения (II^*) при f ( t )=0 следует

 

     (1)

Передаточная функция W(s) — отношение преобразования Лапласа величины на выходе системы X ( s ) к величине на входе системы Y ( s ) при нулевых начальных условиях.

Основные свойства передаточной функции:

1) Это дробно-рациональная функция.

2) Коэффициенты полиномов числителя и знаменателя — вещественные числа.

3) Невещественные нули и полюса передаточной функции являются комплексно сопряжёнными.

4) Все полюса передаточной функции устойчивой системы располагаются в левой полуплоскости плоскости S.

Различают несколько видов ПФ:

Рассмотрим непрерывную линейную стационарную систему, математическая модель которой следующая:

 

 

 

Применяя к этой системе преобразование Лапласа, при нулевых начальных условиях получим:

 

 

 ПФ системы в разомкнутом состоянии.

Отключим от элемента сравнения главную обратную единичную связь  уравнение  вырождается, а уравнение  принимает вид:

Подставляя в уравнение , получим:

а) — ПФ разомкнутой системы по управляющему воздействию.

б)  — ПФ разомкнутой системы по возмущающему воздействию.

 ПФ системы в замкнутом состоянии.

Подключим главную обратную единичную связь к элементу сравнения. Рассмотрим систему уравнений . Исключая из этой системы переменные E ( s ) и R ( s ), получим:

а) возмущение отсутствует f ( t )=0:

 — ПФ замкнутой системы по управляющему воздействию.

б) управление отсутствует y ( t )=0:

 — ПФ замкнутой системы по возмущающему воздействию.

Исключая из системы уравнений  R ( s ) и X ( s ), получим:

Если f ( t )=0, то — ПФ по ошибке относительно управляющего воздействия.

Если не единственная обратная связь, то смотри методические указания.

 ПФ астатических систем.

Известно, что

                 (*)

Условие (*) выполняется, когда , где Y ₀ (0)= const ≠0.

Пример.

 

 система будет астатичной, если её ПФ имеет простой/однократный нуль при s =0

т.к.  и если , а

Если W ( s ) (ПФ разомкнутой системы) имеет хотя бы один простой полюс при s =0.

 

Переходная функция

 

Переходная функция h ( t ) — реакция системы на единичное ступенчатое воздействие.

Эта функция определяет качество регулирования системы.

Основными оценками качества регулирования являются следующие параметры:

 Пример на странице 29 методических указаний.

 

h ( t ) можно определить следующим образом:

1) по ММ системы в области вещественной переменной t (численно /стр. 28/).

2) по ММ в области комплексной переменной

Рисунок

, т.к.

 

Импульсная переходная функция (функция веса)

 

Так же, как и h ( t ), ИПФ k ( t ) является основной характеристикой системы во временной области. Это реакция системы на δ-функцию.

, !!!

так как .

 

Лекция №10. 12.03.2003

 

Основные свойства импульсной переходной функции:

 

1) ИПФ и ПФ являются преобразованием Лапласа друг от друга. Задание одной из них достаточно для задания другой.

2)  — условие устойчивости.

3) k ( t )=0 для любого t <0 — условие физической реализуемости.

4) .

5) Если y ( t ) непрерывная и ограниченная функция и элементарное управляющее воздействие y_i ( t ) вызывает реакцию , то с учётом суперпозиции:

 

— интеграл Дюамеля. — определяет реакцию системы по элементарному воздействию (известной импульсной функции.)