Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных стационарных систем

 

Пусть известна математическая модель системы, описывающая свободное движение системы в виде однородного дифференциального уравнения:

 

 (1)

 

или разностного уравнения

 

 (1΄)

и пусть x — это отклонение интересующей нас переменной от её значения в равновесном режиме. Тогда система будет устойчива, если выполняется условие  (2)

 

или  (2΄)

 

При каких условиях выполняется равенство (2)?

Уравнениям (1) и (1΄) соответствуют характеристические уравнения:

 

       …        (3)

       …        (3΄)

 

Если корни s_i уравнения (3) различны, то решение уравнения (1) может быть записано следующим образом .

В общем случае корни являются комплексными s_i =α _i + j β _i.

 

 

1) Если α _k >0 A →∞ система не устойчива.

2) Если α _k <0 A →0 система устойчива.

3) Если α _k =0 A = c_k = const система нейтрально устойчива.

Следовательно, для устойчивости линейной непрерывной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, то есть располагались в левой полуплоскости плоскости S.

Можно показать, что для устойчивости дискретной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (3΄) z_i были:        | z_i |<1  …  (!!)

Лекция №8. 05.03.2003

 

Решение уравнения состояния

 

(5)

 

Пусть при t = t ₀ X ( t ₀ )= X ₀ (начальные условия). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (5) при известных начальных условиях может быть получено в следующем виде:

 

(6)

 

где M ( t ) — фундаментальная или переходная матрица.

Решение уравнения (5) можно записать и в виде ряда Тейлора:

 

(7)

 

Производные в формуле (7) можно определить из уравнения (5):

 

т.е. (8)

Здесь (9)

е ^At — МАТРИЦИАНТ.

 

Можно сказать, что решение неоднородного уравнения состояния имеет вид:

 

(10)

 

Дискретные математические модели многомерной системы

Рассмотрим многомерный импульсный фильтр:

 

1 — непрерывная часть системы;

4 — формирователи.

В случае экстраполятора нулевого порядка (Э0П) управляющие сигналы y_p ( t ), действующие на непрерывную часть системы, будут кусочно-постоянными, т.е. y_p ( t )= y_p [ iT ], iT ≤ t ≤ ( i +1) T в скалярной форме или Y ( t )= Y [ iT ] при iT ≤ t ≤ ( i +1) T в векторной.

Рассмотрим уравнение (10) при следующих условиях:

1) t ₀ = iT — начальные условия.

2) ( iT , t ) — интервал интегрирования.

 

 

В частности, при t =( i +1) T:

 

 

Таким образом:

 

(11)

 

Это уравнение состояния многомерной дискретной системы.

Здесь:

 

(12)

е ^AT — МАТРИЦИАНТ.

(13)  (14)

 

В развёрнутой форме уравнение состояния примет вид:

 

(III)

Пример 4.

Определить уравнение состояния многомерной импульсной системы с Э0П. Математическая модель непрерывной части известна:

 

 

1. Составим уравнение состояния непрерывной части системы:

, , тогда

 

                                

2.

3.

              

4.

5.

6. Запишем уравнение состояния:

 

(III΄)

 

Лекция №9. 11.03.2003