Непрерывные математические модели

Математическая модель системы может быть получена на основе математических моделей подсистем, образующих данную систему.

Математическая модель системы

Рассмотрим в качестве примера непрерывную стационарную одномерную детерминированную систему с сосредоточенными параметрами

Всего три подсистемы: объект , регулятор  и элемент сравнения .

Объект — динамическая система, дифференциальные уравнения которой могут быть записаны следующим образом:

Х — любая линейная или нелинейная функция.

Составим уравнение регулятора:

Регулятор — также динамическая система, при этом с учётом направленности действия уравнение регулятора не будет содержать х:

Примечание. Направленность действия означает то, что объект не оказывает обратного влияния на регулятор, а только через элемент сравнения и главную обратную связь

Составим уравнение элемента сравнения:

Система уравнений , ,  — это математическая модель рассматриваемой системы.

В общем случае это система нелинейных дифференциальных уравнений.

Линеаризация математической модели

Если нелинейности системы несущественны, то ими пренебрегают, и считают модель линейной с какой-то степенью приближения.

Линейные модели используют обычно на этапе предварительного проектирования, они удобны для исследования.

Применяя соответствующий метод линеаризации, можно перейти от линейной модели к линеаризованной.

Рассмотрим один из этих методов:

он опирается на гипотезу малости отклонений “Δ”-вариаций переменных х( t ), y ( t ), r ( t ), f ( t ),  от их значений, от их заданных или фиксированных значений “0” х₀( t ), y ₀ ( t ), r ₀ ( t ), f ₀ ( t ), , например, в установившемся состоянии.

Рассмотрим уравнение объекта :

Полагая  и , решения уравнения  можно найти в виде , а уравнения  в виде , тогда:

Лекция №6. 26.02.2003

Если X непрерывная и однозначная функция, то её можно разложить в ряд Тейлора в окрестности некоторых точек х₀ , r ₀ , f ₀ :

.

Пренебрегая членами ряда порядка выше первого (из-за их малости), с учётом частного случая (в установившемся состоянии после переходного режима при , ) после преобразований в операторной форме это уравнение ( ) можно записать в следующем виде:

Здесь , а D_O, M_O, N_O —полиномы от оператора р такие, что:

;

;

, где:

;

;

.

Аналогично могут быть получены линеаризованные уравнения регулятора и устройства сравнения:

Исключая из системы уравнений , ,  переменные , и опуская индекс вариации Δ, линеаризованная математическая модель системы примет вид:

 (II΄)

где:

;

;

,

где a ₀ – a_n, b ₀ – b_n, c ₀ – c_n однозначно определяются коэффициентами α, β и γ системы.

Тот же вид, но в развёрнутой форме:

(II)