Непрерывные математические модели

Математическая модель системы при этом приводится к стандартному виду (или форме Коши):

 

(1)

 

Система уравнений (1) — это уравнение состояния в развёрнутой форме.

Соответствующая системе уравнений (1) структура системы:

 

 

В матричной форме систему уравнений (1) можно записать в следующем виде:

(2)

Здесь X, Y — вектора соответственно состояния и управления (смотри выше):

A — матрица системы;             B — матрица управления.

 

 

Уравнению состояния (2) соответствует следующая структура системы:

Система уравнений (1) и уравнение (2) соответствуют случаю, когда в качестве выходных переменных рассматриваются все переменные состояния.

В общем же случае количество выходных переменных зависит от рассматриваемой задачи и определяется линейной комбинацией переменных состояний  и входных переменных (управляющих воздействий) .

Поэтому уравнение состояния системы в развёрнутой форме примет следующий вид:

 

(3)

 

Количество выходных переменных  зависит от решаемой задачи.

Системе уравнений (3) будет соответствовать следующая структура системы:

 

 

В матричной форме уравнение состояния системы выглядит так:

 

(4)

Уравнению состояния (4) соответствует следующая структура системы:

 

Z ( t ) — вектор выхода

 

С — матрица системы;              D — матрица управления.

 

 

Пример 1.

Записать уравнения состояния в развёрнутой и матричной формах, составить схему (структуру) системы в переменных состояния непрерывной системы, математическая модель которой следующая:

 

.

Решение.

1. Вводим переменные состояния:

 

, , …, .

 

2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутой форме Коши:

 

 

3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:

 

  

 

4. Составляем структуру системы в переменных состояния:

 

Пример 2.

Смотри условие примера 1, но .

Решение.

1. Вводим переменные состояния:

 

, .

 

2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутой форме Коши:

 

 

3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:

 

 

                

 

4. Составляем структуру системы в переменных состояния:

Пример 3.

По структуре системы в переменных состояния записать уравнения состояния в развёрнутой и матричной формах.

 

 

1.)

2.)

3.)

4.)

Лекция №14. 01.04.2003

 

 Передаточная функция:

 АФХ:

 

ω	0	+∞
A( ω )	1	0
φ (ω)	0	–

 ЛЧХ: а)

б)

 

T — постоянная времени. ζ — коэффициент относительного демпфирования. η — угловая частота колебаний.

Интегрирующее звено

 

 ММ:

 Переходная функция:

 Передаточная функция:

 АФХ:

 

ω	0	+∞
A( ω )	∞	0
φ (ω)	–	–

 

 ЛЧХ: а)           б)

 

Если подсистема состоит из ν последовательно соединённых интегрирующих звеньев, то есть , то наклон характеристики  будет равен , а характеристика

 

 будет проходить на уровне рад.