Дискретная передаточная функция

 

Дискретная передаточная функция импульсного одномерного фильтра

 

 

Пусть известна импульсная переходная функция приведённой непрерывной части К_П( t ), то есть реакцию на единичную импульсную решетчатую функцию.

 

 

Определим реакцию импульсного фильтра на дискретную последовательность (решетчатую функцию):

U [ mT ], m =0, 1, …, i — на входе.   x ( t ) — ?

Дискрета	Реакция
U[0T] U[1T] … U[mT]	U[0T] КП (t) U[T] КП (t-T) … U[mT] КП (t-mT)		элементарные реакции

 

 

Непрерывная часть сглаживает импульсы, но мы хотим выделить дискреты:

t = iT       

 

Применим Z-преобразование:

 

, тогда с учётом теоремы свёртки получим: X ( z )= W _П ( z ) U ( z ); U ( z )= Z { U [ i ]}.

≜  — ДПФ импульсного фильтра.

По аналогии с непрерывными системами:  (отношение Z-преобразования сигнала на выходе фильтра к Z-преобразованию входного сигнала при нулевых обратных условиях).

Так как , то на практике очень удобна следующая формальная запись:         !!!    

то есть ДПФ равна Z-преобразованию такой функции оригинала, преобразование Лапласа которой равно W ( s ).

 

Пример № 1:                    

 

Дискретная передаточная функция импульсной системы с экстраполятором нулевого порядка

Структура системы приведена на Рисунке № !.

Можно показать, что ДПФ такой системы в разомкнутом состоянии (когда убираем главную обратную связь) определяется по следующей формуле:

!!!!

W ( s ) — передаточная функция непрерывной части системы.

Пример № 2.

Определить ДПФ микропроцессорной (импульсной) системы (Рисунок № !), непрерывная часть которой следующая:

 

Решение:

 

1)

2)  — раскладываем на простые дроби.

3)

 

Дискретная передаточная функция многомерной системы

Задачу определения ДПФ для многомерного случая удобно решать Методом Пространств Состояний:

Рассмотрим алгоритм решения этой задачи для простейшего одномерного случая:

 

 (смотри связь между ПФ и дифференциальным уравнением)

Известно, что решение этого дифференциального уравнения первого порядка:            x ( t ₀ )= x ₀

 

 

При U ( t )= U [ iT ], iT ≤ t < ( i +1) T интегрируя в пределах ( iT , t ):

 

.

t =( i +1) T

.

 

Применяя к этому выражению Z-преобразование с начальными нулевыми условиями, с учётом теоремы сдвига и свойств линейности:

 

 

ММ многомерной системы приведена выше (смотри систему уравнений (III)). Применяя к этой системе Z-преобразование с нулевыми начальными условиями, с учётом свойств линейности получим:

(III^*)

 

Эта ММ позволяет определить матричную дискретную передаточную функцию , элементы которой рассчитываются по следующим формулам:

 

                 (1)

Здесь        (2)

 

Определитель  можно получить из определителя (2) путём замены q -столбца следующим столбцом:

Пример № 3

По системе линейных разностных уравнений, полученных в примере (III′), определить дискретные передаточные функции от управления y к координатам x ₁ и x ₂.

 

                                 

                                 

Лекция №11. 18.03.2003

 

Решение:

1)

2)

3)

4)

5)