Из тригонометрической формы представления вращающегося век-тора

следует, что синусоидальный ток равен мнимой части комплекса или проекции вращающегося вектора на мнимую ось:

и ему соответствует комплексная амплитуда:

,

где Im – мнимый (от лат. imaginaris); – знак соответствия.

В расчетах применяют комплекс действующего значения

, (3.15)

который может быть представлен в трех формах записи:

- показательной

, (3.16)

удобной при умножении, делении, извлечении корня и логарифмировании;

-тригонометрической

, (3.17)

используемой для перехода от показательной формы к алгебраической;

- алгебраической

, (3.18)

где , , применяемой при сложении и вычитании комплексных чисел.

Метод расчета электрических цепей, основанный на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами, называют символическим или комплексным. При расчетах цепей синусоидальному току ставят в соответствие комплекс действующего значения:

.

Точная запись имеет вид:

.

Символическим методом рассчитывают линейные цепи с синусоидальными ЭДС, токами и напряжениями. Он позволяет переходить от интегро-дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений, к алгебраическим уравнениям для комплексов действующих значений. При таком переходе дифференцирование временной функции заменяется умножением изображающего ее комплекса на jω, а интегрирование – делением
на jω:

Элементы цепи переменного тока

Ток в проводниках неразрывно связан с магнитным и электрическим полями, которые при переменных токах также переменны. Переменное магнитное поле наводит в проводниках ЭДС, препятствующую изменению тока. Переменное электрическое поле вызывает прохождение тока. Часть электромагнитной энергии в проводниках и окружающей их среде преобразуется в тепло. Эти явления происходят на любом участке цепи. Для упрощения расчетов цепь заменяют идеализированной схемой, каждый элемент которой связан только с одним видом энергии.

Идеализированная схема переменного тока может включать эле-менты (рис. 3.10):

- резистивный с сопротивлением R;

- индуктивный с индуктивностью L;

- емкостный с емкостью С.

Резистивный элемент R учитывает необратимое преобразование электрической энергии в другие виды (тепловую, механическую и др.) и характеризуется параметром − активным сопротивлением R.

Напряжение u_R связано с током i законом Ома:

(3.19)

Индуктивный элемент L учитывает энергию магнитного поля

и явление самоиндукции

и характеризуется параметром − индуктивностью L.

Индуктивный элемент препятствует изменению тока. Для прохождения переменного тока через индуктивность источник тратит часть своего напряжения на преодоление ЭДС:

, (3.20)

при этом энергия источника накапливается в магнитном поле индуктивности.

При ЭДС не возникает: , и падение напряжения на индуктивном элементе отсутствует: .

Индуктивный элемент – идеальная катушка индуктивности с активным сопротивлением R = 0. Реальную катушку представляют схемой замещения с использованием элементов R и L.

Емкостный элемент С учитывает энергию электрического
поля

и характеризуется параметром – емкостью С.

При изменении напряжения изменяется заряд на емкостном элементе, и через него протекает ток смещения:

.

При ток через емкостный элемент не течет ( ).

Напряжение на емкостном элементе, численно равное заряду емкости C = 1 Ф, препятствует протеканию тока:

. (3.21)

Энергия источника накапливается в электрическом поле емкости.

Емкостным элементом является идеальный конденсатор, в котором отсутствует активная проводимость .