Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Пусть в цепи протекает ток , ему соответствует комплекс действующего значения:

.

Активное сопротивление R

При синусоидальном токе напряжение на активном элементе R (рис. 3.14) также синусоидально и совпадает по фазе с током:

.

Фазовый сдвиг j между u_R и i равен нулю.

Закон Ома для R в комплексной форме:

. (3.29)

Комплексное сопротивление

(3.30)

имеет модуль

и аргумент

.

Мгновенная мощность, расходуемая в активном сопротивлении, содержит постоянную и переменную составляющие:

Переменная составляющая изменяется с двойной частотой.

Из волновых и векторных диаграмм для активного элемента (рис. 3.15) следует, что в активном сопротивлении мгновенная мощность всегда положительна . Это соответствует непрерывному поступлению энергии от генератора в нагрузку.

Среднее значение потребляемой мощности за период, определяемое произведением действующих значений напряжения U_R и тока I, называется активной мощностью:

Индуктивность L

При синусоидальном токе напряжение на индуктивном элементе (рис. 3.16)

также синусоидально и опережает ток по фазе на четверть периода, т.е. фазовый сдвиг между напряжением и током на индуктивном элементе равен: .

Закон Ома для индуктивности L в комплексной форме:

. (3.31)

Комплексное сопротивление индуктивного элемента

(3.32)

имеет модуль, называемый индуктивным сопротивлением и изменяющийся прямо пропорционально частоте,

и аргумент

.

Мгновенная мощность изменяется с двойной частотой по закону синуса:

.

Волновые и векторные диаграммы для индуктивного элемента (рис. 3.17) показывают, что в течение четверти периода, когда ток возрастает по модулю, мгновенная мощность положительна , при этом энергия

поступает от генератора, запасаясь в магнитном поле индуктивности. В течение следующей четверти периода, когда ток уменьшается по величине, и энергия возвращается магнитным полем в генератор. Энергия периодически то забирается индуктивностью из генератора, то возвращается обратно.

Среднее значение мгновенной мощности за период синусоидального тока

,

т.е. идеальный индуктивный элемент энергию не потребляет.

Амплитуда мощности в индуктивном элементе определяется произведением действующих значений напряжения U_L и намагничивающего тока I и называется реактивной намагничивающей мощностью:

[ВАр].

Емкость С

При синусоидальном токе напряжение на емкостном элементе (рис. 3.18) также синусоидально, но, в отличие от индуктивного, отстает от тока по фазе на четверть периода (фазовый сдвиг между напряжением и током на емкости равен: ):

.

Закон Ома для емкости С в комплексной форме:

. (3.33)

Комплексное сопротивление емкостного элемента

(3.34)

имеет модуль, изменяющийся обратно пропорционально частоте и называемый емкостным сопротивлением,

и аргумент , находящийся в противофазе с аргументом индуктивного элемента.

Мгновенная мощность в емкости изменяется так же, как и в индуктивном элементе, но находится в противофазе к ней:

Из волновых и векторных диаграмм для емкостного элемента
(рис. 3.19) следует, что в течение четверти периода, когда напряжение на емкости возрастает по модулю, мгновенная мощность положительна , при этом энергия

поступает от генератора в цепь и запасается в электрическом поле емкости.

В течение следующей четверти периода, когда напряжение уменьшается по модулю, и энергия возвращается электрическим полем в генератор. Энергия периодически то забирается емкостью из генератора, то возвращается обратно.

Среднее значение мгновенной мощности за период синусоидального тока

,

т.е. емкость не потребляет энергию.

Амплитуда мощности в емкостном элементе определяется произведением действующих значений напряжения U_С и тока I и называется реактивной емкостной мощностью:

[ВАр].

Числовое значение этой мощности отрицательное. (Реактивная намагничивающая мощность индуктивного элемента положительна).