Расчет цепей с помощью законов Кирхгофа

Цель расчета - определение токов ветвей по известным пара-метрам и конфигурации цепи.

Порядок расчета:

- выбрать положительные направления токов ветвей и обозначить их на схеме;

- выбрать положительные направления обхода независимых контуров и обозначить их на схеме;

- составить систему уравнений по законам Кирхгофа;

- решив систему, определить токи ветвей.

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи (рис. 2.12). Число n₁ независимых уравнений по первому закону Кирхгофа меньше числа уз-лов у схемы на единицу:

(2.7)

так как ток каждой ветви входит в эти уравнения дважды. Для приведенной схемы n₁ = 3.

Уравнения по первому закону Кирхгофа составляют для любых трех узлов, например, а, b и с:

(2.8)

Уравнение для четвертого узла d не является независимым, его можно получить, алгебраически сложив уравнения (2.8).

Число n₂ независимых уравнений по второму закону Кирхгофаменьше числа n ветвей на число n₁ уравнений по первому закону

(2.9)

и равно числу независимых контуров.

Рассматриваемая схема имеет три независимых контура, например, контуры 1, 2, 3. Направления обхода контуров выбирают произвольно. Пусть направления обхода контуров 1 и 2 совпадают с направлениями ЭДС, а контура 3 - с движением часовой стрелки, тогда уравнения по второму закону Кирхгофа для соответствующих контуров примут вид:

(2.10)

Если направление тока в k-й ветви совпадает с направлением обхода контура, то слагаемое входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае - со знаком минус. Аналогично выбирается знак перед ЭДС.

Число неизвестных токов равно числу ветвей и для данной схемы (рис. 2.12) составляет: . Нахождение шести неизвестных требует составления системы шести уравнений: три уравнения составлены по первому закону Кирхгофа (2.8), три – по второму (2.10). Совместное решение систем (2.8) и (2.10) дает токи . Если ток получился отрицательным, то его действительное направление противоположно выбранному.

Недостатком метода расчета, основанного на применении законов Кирхгофа, является громоздкость.

Метод контурных токов

В методе контурных токов цепь рассматривают как совокупность независимых контуров, предполагая, что в каждом из них протекает свой контурный ток . Направление контурных токов выбирают произвольно и по ним осуществляют обход контуров.

Введем обозначения. Контурная ЭДС k-го контура – алгеб-раическая сумма ЭДС, входящих в контур. Собственное сопротивление k-го контура – сумма всех сопротивлений, входящих
в контур. Взаимное (общее) сопротивление k-го и m-го контуров
– сумма сопротивлений ветвей, общих для k-го и m-го контуров.

Электрическая цепь (рис. 2.13) имеет три независи­мых контура. Введем контурные токи J₁, J₂, J₃ и выразим через них токи ветвей:

(2.11)

Токи внешних ветвей контуров принадлежат только одному контуру, равны по величине соответствующим контурным токам, но могут отличаться от них направлением. Токи в общих ветвях определяются алгебраической суммой смежных контурных токов.

Подставив (2.11) в уравнения (2.10), составленные по второму закону Кирхгофа, получим:

(2.12)

Уравнения системы (2.12) однотипны:

- левая часть содержит произведение собственного сопротивления k-го контура на ток в нем ( ) и алгебраическую сумму произведений взаимного сопротивления k-го и m-го контуров на ток соседнего контура ( ) (плюс – при совпадении направлений токов, в противном случае – минус);

- правая часть содержит контурные ЭДС соответствующих контуров.

В общем виде уравнение для k-го контура:

(2.13)

Для рассматриваемого примера систему уравнений (2.12), составленную по методу контурных токов, можно записать в обобщенном виде:

(2.14)

где

Решая систему (2.14), находим контурные токи:

(2.15)

где - определитель системы; A_km – алгебраическое дополнение: ; – минор, получающийся при вычеркивании k-й строки и m-го столбца определителя .

В рассматриваемом случае алгебраические дополнения равны:

Аналогично получаем токи

и .

Зная контурные токи, легко с помощью соотношений (2.11) найти токи ветвей.