Частотные характеристики

 

Пусть к RLC-цепи приложено напряжение постоянной амплитуды с частотой, регулируемой в пределах .

Изменение частоты вызывает изменение параметров цепи:

 

; ;

 

;

 

;

 

.

Зависимости параметров цепи от частоты , , называют частотными характеристиками (рис. 3.27).

Изменение с частотой параметров приводит к изменению тока и напряжений на элементах цепи. Зависимости , , называют резонансными кривыми (рис. 3.28).

На низких частотах реактивное сопротивление носит емкостный характер ( ) и с ростом частоты уменьшается от бесконечности до нуля, при этом ток

 

(3.46)

возрастает от нуля до максимума:

 

.

На высоких частотах реактивное сопротивление носит индуктивный характер ( ) и с ростом частоты увеличивается от нуля до , при этом ток уменьшается от максимума до нуля.

Активная составляющая полного напряжения пропорциональна току , и резонансная кривая напряжения повторяет резонансную кривую тока .

Напряжение на индуктивности определяется зависимостью

 

. (3.47)

При индуктивное сопротивление , ток и . При сопротивление , ток и все напряжение источника приложено к индуктивности .

Решение уравнения дает частоту

 

при которой напряжение на индуктивности максимально.

При добротности резонансная кривая проходит через максимум на ; с ростом добротности . При кривая изменяется монотонно с частотой.

Напряжение на емкости проанализируем по формуле

 

. (3.48)

При тока в цепи нет, и все напряжение источника приложено к емкости . При сопротивление , ток в цепи отсутствует и .

Решение уравнения дает частоту

 

,

при которой напряжение на емкости максимально.

При резонансная кривая проходит через максимум на , с ростом добротности . При кривая изменяется монотонно с частотой.

Добротность контура характеризует остроту резонансной кривой (рис. 3.29). Чем больше Q, тем острее резонансная кривая, тем выше избирательные свойства и добротней контур.

Избирательные свойства контура, помимо добротности Q, оценивают полосой пропускания

 

,

на границах которой ток

 

в меньше максимального I₀, а активная мощность в 2 раза меньше мощности при резонансе (рис. 3.30).

Полоса пропусканиязанимает область частот, границы которой соответствуют половине мощности при резонансе.

Величина, обратная добротности, характеризует превышение потребляемой энергии над энергией запасаемой и называется затуханием контура:

.

 

 

Разветвленная цепь

 

Цепь, содержащую любое количество параллельно соединенных ветвей, можно представить эквивалентной схемой замещения с тремя параллельно соединенными элементами R, L, С (рис. 3.31). При воздействии на вход цепи синусоидального напряжения

входной ток

 

и токи в ветвях:

 

,

также синусоидальны, причем реактивные токи i_L и i_C всегда находятся в противофазе друг к другу.

Для цепи справедлив первый закон Кирхгофа, который можно представить в интегродифференциальной форме записи:

 

; (3.49)

 

векторной -

; (3.50)

комплексной -

(3.51)

Комплексная проводимостьцепи Y состоит из активной составляющей g и реактивной b. В зависимости от соотношения реактивных составляющих b_L и b_C она изменяет характер:

 

. (3.52)

При ( ) комплексная проводимость носит индуктивный характер, ее аргумент, равный углу сдвига фаз между входным током и напряжением , положителен:
(рис. 3.32).

При ( ) комплексная проводимость Y носит емкостный характер, а ее аргумент и угол сдвига фаз (рис. 3.33).

При ( ) комплексная проводимость Y имеет активный характер, а .

Из уравнений (3.50) и (3.51) следует, что входной ток удовлетворяет закону Ома:

 

.

Фазовые сдвиги между напряжением и токами разных участков цепи различны, их соотношения поясняют векторные диаграммы индуктивной (рис. 3.34), емкостной и активной нагрузок (рис. 3.35).

При построении диаграмм начальная фаза напряжения принята равной нулю, а положительное значение угла сдвига фаз j отсчитано от вектора входного тока против движения часовой стрелки. Из диаграмм следует, что входной ток содержит активную и реактивную составляющие. Проекция вектора полного тока на вектор является активной составляющей тока и совпадает по фазе с напряжением, а проекция на направление, ортогональное вектору , является реактивной составляющей и образует с напряжением фазовый сдвиг в четверть периода.

 

При индуктивном характере цепи реактивная составляющая тока отстает от напряжения на угол и опережает на при емкостном характере . Выполнение условия означает, что в отсутствие реактивной проводимости ( ) нагрузка оказывается активной, а входной ток совпадает с напряжением по фазе.

Разветвленную цепь можно представить одной из трех схем замещения:

- параллельным соединением активного сопротивления и индуктивности ( ) (см. рис. 3.34);

- параллельным соединением активного сопротивления и емкости ( ) (рис. 3.35, а);

- активным сопротивлением ( ) (рис. 3.35, б).

Фазовый сдвиг j = arctg(b/g) между полным током и приложенным напряжением определяется соотношением реактивной (b) и активной (g) проводимостей цепи и не зависит от свойств источника.

 

 

Резонанс токов

 

При параллельном соединении реактивных элементов L и С (рис. 3.36) возможен резонанс токов. Векторная диаграмма разветвленной цепи индуктивного характера ( ) приведена на рис. 3.37.

При резонансе фазовый сдвиг между приложенным напряжением и входным током обращается в нуль, а реактивные составляющие токов ветвей I_1х и I_2х компенсируют друг друга (рис. 3.38). Это достигается в отсутствие реактивной проводимости цепи ( ), что возможно лишь при равенстве реактивных проводимостей ветвей.

Выразив проводимости через параметры элементов и частоту, получим условие резонанса токов:b₁=b₂;

. (3.53)

Резонанс достигается изменением любого из пяти входящих в уравнение (3.53) параметров: ω, L, C, R₁, R₂. При изменении частоты колебаний источника условие резонанса принимает вид:

 

, (3.54)

где – резонансная частота в неразветвленной цепи;

– волновое сопротивление контура.

Сравнивая резонансные частоты (3.43) и (3.54), можно выделить отличия резонанса токов от резонанса напряжений:

- резонанс токов возможен при одновременном выполнении неравенств , или , ;

- при резонансная частота оказывается функцией активных сопротивлений ветвей ;

- при частоты резонанса токов и напряжений совпадают: ;

- при резонанс токов возможен на любой частоте, так как .

При параллельном включении катушки индуктивности и конденсатора (рис. 3.39), наиболее часто встречающегося на практике, условие резонанса токов (3.53) принимает вид:

 

,

а достижение резонанса возможно в результате изменения любого из четырех параметров: ω, L, C, R₁. В случае изменения частоты источника питающего напряжения

 

,

то есть резонанс токов возможен лишь при условии (малых потерь в контуре).

Колебательный контур (см. рис. 3.39) при резонансе токов обладает следующими свойствами:

- проводимость цепи активна и минимальна:

 

- при входной ток определяется лишь активной проводимостью и минимален:

 

Минимум тока является экспериментальным признаком резонанса (при , );

- входной ток и напряжение совпадают по фазе: ;

- коэффициент мощности максимален: ;

- цепь потребляет максимальную мощность: .

При параллельном соединении реактивных элементов контур описывают волновой или характеристической проводимостью, обеспечивающей колебательный обмен энергией между L и C и определяемой реактивными проводимостями ветвей:

 

[См].

При резонансе реактивные проводимости ветвей равны волновой проводимости и с уменьшением потерь стремятся к величине, обратной волновому сопротивлению:

 

. (3.55)

Добротность характеризует качество контура и при резонансе показывает относительное превышение проводимости , тока и мощности реактивного элемента L или C над соответственно проводимостью g, током и мощностью на входе цепи:

 

. (3.56)

При резонансе токов добротность меньше, чем при резонансе напряжений, и с уменьшением потерь стремится к последней: При реактивная составляющая тока катушки

и ток конденсатора

равны по величине и значительно превышают входной ток , так как реактивные проводимости ветвей превышают входную проводимость цепи .