Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов – это расчет цепей, при котором за неизвестные приняты потенциалы узлов схемы.

Одну из точек схемы можно заземлить, положив ее потенциал равным нулю. Заземление одной точки схемы не влияет на токо-распределение.

Для схемы (рис. 2.14) примем за нуль потенциал точки d.

Если , то необходимо определить еще потенциалы трех узлов: , , , т.е. число уравнений, составленных по методу узловых потенциалов, равно числу узлов без единицы:

. (2.16)

Выразим токи ветвей рассматриваемой схемы через потенциалы узлов, используя обобщенную форму закона Ома (2.3):

(2.17)

Подставив выражения токов (2.17) в уравнения по первому закону Кирхгофа (2.8), получим:

(2.18)

Уравнения (2.18) однотипны:

- левая часть содержит со знаком плюс произведение соответствующего узлового потенциала на сумму проводимостей ветвей, сходящихся в этом узле, и со знаком минус произведения потенциалов остальных узлов на проводимости ветвей, соединяющих эти узлы с рассматриваемым;

- правая часть содержит алгебраическую сумму произведений проводимостей ветвей, сходящихся в рассматриваемом узле, на ЭДС этих ветвей, называемую узловым током данного узла, при этом ЭДС, направленные к рассматриваемому узлу, входят в сумму со знаком плюс, а направленные от узла – со знаком минус.

В общем случае для узла k можно записать:

, (2.19)

где E_mk – ЭДС ветви, соединяющей узлы m и k.

Решив систему (2.18), найдем потенциалы узлов .

Для определения токов по найденным потенциалам следует воспользоваться обобщенным законом Ома (2.17).

Метод двух узлов – частный случай метода узловых потенциалов.

Для цепи, содержащей два узла m и k, нужно составить одно уравнение для определения потенциала. Пусть , тогда для согласно (2.19) получим выражение:

(2.20)

Сумма в числителе выражения (2.20) – алгебраическая:

- ЭДС, направленные к узлу k, входят со знаком плюс;

- ЭДС, направленные от узла k, - со знаком минус.

Для схемы (рис. 2.15) можем записать:

Проверку правильности расчета электрической цепи осуществляют, составляя баланс мощности.

Баланс мощности

Работа, совершаемая при перемещении заряда q вдоль неразветвленного участка цепи, не содержащего источников энергии, равна:

(2.21)

Мощность – работа, совершаемая в единицу времени:

. (2.22)

С учетом закона Ома (U = RI) получаем закон Джоуля - Ленца:

(2.23)

Мощность источников ЭДС и тока:

(2.24)

В системе СИ единица измерения работы – джоуль (Дж), мощности – ватт (Вт).

Согласно закону сохранения энергии, в электрической цепи мощность источников равна сумме мощностей приемников и потерь мощности на внутренних сопротивлениях источников энергии:

(2.25)

или

.(2.26)

Суммы, входящие в левую часть равенства (2.26), имеют алгебраический характер, в правую часть - арифметический.

Уравнения (2.25) и (2.26) называют балансом мощности.