Векторами и комплексными числами

Для мгновенных значений токов и напряжений в цепи справедливы законы Кирхгофа:

, (3.13)

Сложение мгновенных значений синусоидальных функций времени удобно выполнять с помощью вращающихся векторов.

Мгновенное значение любой синусоидальной величины, например тока , в каждый момент времени можно представить проекцией на вертикальную ось OY вектора амплитуды , вращающегося со скоростью w = const в плоскости XOY вокруг начала координат против часовой стрелки.

В момент вектор, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде тока , расположен под углом a к оси OX
(рис. 3.3). В момент вектор составит с осью OX угол , а его проекция на ось OY в том же масштабе будет равна мгновенному значению тока: .

Вектор изображает синусоидальную функцию . Совокупность векторов, изображающих несколько синусоидальных функций, образует векторную диаграмму. Представив на диаграмме векторами, вращающимися с одной скоростью w, несколько синусоидальных токов, можно геометрическим сложением найти их сумму. Так, зная токи и , притекающие к узлу, согласно первому закону Кирхгофа можно найти ток, утекающий от узла (рис. 3.4):

.

Используя метод векторных диаграмм,суммарный ток находят, геометрически складывая в одном масштабе токи i₁ и i₂ (рис. 3.5).

При векторном представлении синусоидальных токов и напряжений законы Кирхгофа справедливы для действующих значений:

, . (3.14)

Геометрическое сложение векторов можно заменить алгебраическими действиями над комплексными числами, если изобразить синусоидальные функции времени комплексными числами.

Комплексное число (рис. 3.6), соответствующее на комплексной плоскости точке с координатами (a, b), можно представить в алгебраической форме:

,

где a, b – действительные числа; – мнимая единица, обладающая свойством

.

Комплексное число можно задать вектором, проведенным из начала координат, длина которого

называется модулем, а угол

,

отложенный от оси действительных чисел, – аргументом комплексного числа. Угол α отсчитывают от положительного направления действительной оси против часовой стрелки.

Комплексное число можно представить в тригонометрической форме, введя в рассмотрение проекции вектора

,

где – действительная часть; – мнимая часть.

Применив формулу Эйлера

,

комплексное число представляют в показательной форме:

.

Умножение комплексного числа на оператор поворота изменяет его аргумент на угол и поворачивает изображающий вектор на этот же угол против хода ( ) или по ходу ( ) часовой стрелки.

Поскольку , то умножение числа на мнимую единицу ( ) увеличивает аргумент на и поворачивает изображающий вектор против часовой стрелки на угол , а умножение на ( ) уменьшает аргумент на , поворачивая изображающий вектор на угол по часовой стрелке (рис. 3.7).

Комплексные числа с равными модулями и равными, но противоположными по знаку аргументами называют сопряженными числами (рис. 3.8):

; .

Произведение сопряженных чисел равно квадрату модуля:

.

Отложим на комплексной плоскости число, модуль которого равен амплитуде синусоидального тока, а аргумент – его начальной фазе:

,

где - комплексная амплитудасмодулем I_m и аргументом α. Комплексная амплитуда соответствует току в начальный момент и не зависит от времени (рис. 3.9).

Функция изображается вектором длиной I_m, вращающимся на комплексной плоскости против часовой стрелки со скоростью w = const. В момент вектор составляет с вещественной осью угол, равный начальной фазе тока α.