Алгоритм интегрирования дробно-рациональных функций

1) Выяснить, является ли подынтегральная функция правильной. Если нет, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дробно-рациональной функции.

2) Правильную дробно-рациональную функцию разложить на сумму простых дробей.

3) Проинтегрировать многочлен и каждую простую дробь. Записать ответ.

Пример.Вычислить интеграл .

Решение.1) Подынтегральная функция имеет вид . В числителе находится многочлен степени , в знаменателе – многочлен степени . Следовательно, дробно-рациональная функция является неправильной. Представим её в виде суммы многочлена и правильной дробно-рациональной функции. Для этого разделим числитель на знаменатель:

Тогда .

2) Правильная дробно-рациональная функция: . Разложим её на сумму простых дробей. Для этого разложим знаменатель на множители: . Тогда . Сумма простых дробей примет вид:

. (13.2)

Найдём числа , , и методом неопределённых коэффициентов: приведём слагаемые в правой части равенства (13.2) к общему знаменателю, раскроем скобки, сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями :

.

Слева и справа от знака равенства находятся две дробно-рациональных функции с равными знаменателями. Следовательно, их числители должны быть равны. В каждом из числителей находятся многочлены. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях . Для нахождения чисел , , и приравняем коэффициенты многочленов при одинаковых степенях :

. Таким образом, .

3) Вычислим интеграл:

Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы, содержащие рациональные функции от и ( ) всегда рационализируются с помощью подстановки: (в ряде случаев это приводит к громоздким вычислениям). В некоторых случаях можно использовать подстановки , , , .

Свойство подынтегральной функции	Подстановка
1.
2.
3.		или

Интегрирование некоторых иррациональных выражений

В некоторых случаях с помощью специальных подстановок к интегралам от рациональных функций сводятся интегралы от иррациональных функций.

Тип интеграла	Способ интегрирования
1.	, .	Подстановка Эйлера .
2.	, .	Подстановка Эйлера .
3.	, .	Подстановка Эйлера или .
4.	.	Подстановка .
5.	.	Подстановка , .
6.	, , , .	Подстановка Чебышева , .
7.	, , .	Подстановка Чебышева .
8.	, .	Подстановка Чебышева .

Тема 5. Определённый интеграл

Определённый интеграл

Пусть функция задана на отрезке . Разобьём отрезок на произвольных частей точками . Этот набор точек будем называть разбиением отрезка . Выберем в каждом из частичных отрезков произвольную промежуточную точку : , . Обозначим длину каждого частичного отрезка .

Определение 1. Интегральной суммой для функции на отрезке , соответствующей данному разбиению и данному выбору промежуточных точек ( ) называется число .

Определение 2. Диаметром разбиения называется число .

Определение 3.Число (при условии, что предел существует и конечен) называется определённым интегралом от функции на отрезке . Определённый интеграл обозначается символом: .

Определение 4. Если определённый интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке .