Производная и дифференциал

Определение 1. Пусть функция определена на множестве , точки и . Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (при условии, что этот предел существует): .

Определение 2.Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде , где – вещественное число, .

Теорема 1.Для того чтобы функция являлась дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы .

Определение 3. Дифференциалом функции в точке называется главная линейная относительно часть приращения функции в этой точке: .

Определение 4. Дифференциалом независимой переменной называется приращение этой переменной: .

Основные правила вычисления производных

1. Если функции , дифференцируемы в точке , то сумма (разность), произведение и частное (при условии ) этих функций также дифференцируемы в точке , причем справедливы следующие формулы:

, , .

2. Если функция дифференцируема в точке, а – число, то .

3. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и справедлива формула: .

4. Если функция определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке , то у нее существует обратная функция , производная которой вычисляется по формуле: .

Таблица производных элементарных функций

1.	2.	3. ,
4.	5. ,	6.
7. ,	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.

Основные правила вычисления дифференциалов

1. Если функции , дифференцируемы в точке , принадлежащей их общей области определения, то сумма (разность), произведение и частное (при условии ) этих функций также дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующие формулы:

, , .

2. Если функция дифференцируема в точке , а , то .

3. Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке и справедлива формула: .

Таблица дифференциалов элементарных функций

1.	2. ,	3.
4. ,	5.	6. ,
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.

Пример 1.Вычислить производную функции .

Решение. .

Пример 2.Найти первый дифференциал функции в точке .

Решение. 1) Вычислим производную функции : .

2) Вычислим значение производной функции в точке : .

3) Тогда .

Уравнение касательной к графику функции в точке :

.

Геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона к положительному направлению оси касательной к графику этой функции в точке .

Пример 3. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. 1) Вычислим при : .

2) Вычислим значение производной функции в точке : .

3) Составим уравнение касательной: или .

Экономический смысл производной: производная объёма произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .