Значения пределов некоторых выражений

Тема 1. Предел последовательности

Предел последовательности и его свойства

Определение 1. Если каждому числу из множества натуральных чисел поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Другими словами, последовательностью называется функция натурального аргумента: .

Определение 2. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер , что при всех выполняется неравенство . Этот факт записывается так: .

Определение 3.Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение 4. Последовательность называется ограниченной, если существует такое положительное число , что для любого .

Свойства пределов сходящихся последовательностей

1. Если у последовательности существует предел, то только один.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

3. Если , то, начиная с некоторого номера, справедливо представление , где .

4. Если существуют конечные пределы , , то .

5. Если существуют конечные пределы , , то .

6. Если и число , то .

7. Если для любого и существуют конечные пределы , , то .

8. Если для всех членов сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство ( ) или ( ), то или .

Определение 5.Если , то последовательность называется бесконечно малой последовательностью.

Определение 6. Если , то последовательность называется бесконечно большой последовательностью.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей

1. Если – бесконечно малая последовательность и для всех номеров , то – бесконечно большая последовательность, и наоборот.

2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

3. Произведение бесконечно большой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно большая последовательность.

4. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

5. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Значения пределов некоторых выражений

1. при	2. при	3. при
4.	5. ( )	6. ( )
7. ( )	8. ( )	9.
10.	11.

Следствие 1. Если , то .

Следствие 2.Если , то .

Определение 7. Неопределённостью вида называется предел вида , если , .

Определение 8. Неопределённостью вида называется предел вида , если , .

Определение 9. Неопределённостью вида называется предел вида , если , .

Определение 10. Неопределённостью вида называется предел вида , если , .

Определение 11. Неопределённостью вида называется предел вида , если , .

Определение 12. Неопределённостью вида называется предел вида , если , .