Преобразования графика функции

Пусть задан график функции . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. График функции есть график функции , сдвинутый (при влево, при вправо) на единиц параллельно вдоль оси .

2. График функции есть график функции , сдвинутый (при вверх, при вниз) на единиц параллельно вдоль оси .

3. График функции есть график функции , растянутый (при ) в раз или сжатый (при ) вдоль оси . При график функции есть зеркальное отражение графика функции относительно оси .

4. График функции ( ) есть график функции , сжатый (при ) или растянутый (при ) вдоль оси . При график функции есть зеркальное отражение графика функции относительно оси .

Непрерывность функции

Определение 7.Функция называется непрерывной в точке из области определения, если она определена в этой точке и существует .

Определение 8. Приращением аргумента называется величина .

Определение 9. Приращением функции в точке называется величина

.

Определение 10.Функция называется непрерывной в точке _, если .

Определение 11. Если функция непрерывна в каждой точке промежутка , то она называется непрерывной на промежутке .

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в точке .

Решение. 1) Вычислим : .

2) Вычислим : .

3) Составим приращение : .

4) Вычислим : .

Следовательно, функция непрерывна в точке по определению 9.

Свойства функций, непрерывных в точке

1. Если функции , непрерывны в точке , то сумма (разность), произведение и частное (при условии, что в окрестности точки ) этих функций также непрерывны в точке .

2. Пусть у функции существует предел при , , а функция непрерывна в точке . Тогда у сложной функции существует предел при , причем .

3. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке , причем .

Свойства функций, непрерывных на промежутке

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке и достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

2. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то множество её значений является отрезком.

3. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то существует хотя бы одна точка такая, что .

4. Если функция определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке , то у нее существует обратная функция , определённая, непрерывная и строго монотонная того же знака на отрезке .

Точки разрыва функции

Определение 12.Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Определение 13. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если .

Определение 14.Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если .

Определение 15.Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из её односторонних пределов в точке бесконечен или не существует.