В условиях монополии и совершенной конкуренции

Экономическими показателями, характеризующими работу фирмы, являются объём выпуска продукции , цена единицы продукции , доход (выручка) от продажи , издержки , прибыль . Доход от продаж определяется зависимостью цены от количества проданной продукции. Издержки зависят от технологии производства. Требуется найти такой объём выпуска продукции , при котором прибыль была бы максимальна.

В микроэкономике известен закон: оптимальный уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода: . Покажем, что этот закон можно получить как следствие теоремы Ферма. Действительно, объём выпуска продукции оптимален, если прибыль максимальна. В точке наибольшего значения, по теореме Ферма, или , или , или .

Аналогично рассуждая, можно получить еще один закон микроэкономики: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек: . Действительно, уровень наиболее экономичного производства характеризуется тем, что средние издержки минимальны. Следовательно, . Так как , то , тогда или .

В микроэкономике типичная функция издержек может иметь вид: , где , , , – экзогенные параметры. Для упрощения выкладок будем полагать, что , и функция издержек имеет вид .

Исследуем функцию издержек на возрастание, убывание и точки экстремума. Производная функции издержек: . Если , то необходимое условие экстремума: выполняется при и . Производная функции издержек при и . На этих интервалах издержки возрастают. Производная функции издержек при . На этом интервале издержки убывают. Следовательно, при функция издержек имеет максимум, а при – минимум. Если , то функция издержек строго монотонно возрастает.

Найдём уровень наиболее экономичного производства. Он определяется как точка минимума функции средних издержек. Средние издержки: . Тогда при ед. По второму достаточному условию экстремума при всех значениях , следовательно, – точка минимума функции средних издержек. Но, с другой стороны, в этой точке .

Найдём минимум предельных издержек. . при ед. По второму достаточному условию при всех значениях , поэтому – точка минимума функции предельных издержек.

Проанализируем функции дохода от продаж и прибыли фирмы для двух типов рыночной структуры: совершенной конкуренции и монополии.

Совершенная конкуренция. В этом случае цена на продукцию фирмы определяется рынком и постоянна (равновесная цена не зависит от объёма производства данной фирмы): . Следовательно, , т. е. доход от продаж является линейной функцией объёма выпуска (рис. 12.3). В этом случае . Функция прибыли имеет вид: .

Решая неравенство , найдём объёмы производства, при которых прибыль положительна или отрицательна. Прибыль равна нулю при (начало координат), и . Возможны три случая.

Первый случай: если , то (при ) только при и при .

Второй случай: если и , то при , и (рис. 12.3). На рис. 12.4 это точки, в которых .

Третий случай: если и , то только при , а при является отрицательной. Исследуем функцию прибыли на монотонность и экстремумы.

Найдём оптимальный уровень производства. Он определяется как точка максимума функции прибыли. Необходимое условие экстремума имеет вид: . Здесь возможны три случая.

Первый случай: если , то точка экстремума (при ) только одна: . Используя достаточные условия существования экстремума, нетрудно показать, что она является точкой максимума.

Второй случай: если и , то точек экстремума две: и . Исследование функции на монотонность показывает, что прибыль убывает при и , а возрастает при . Точка является точкой минимума прибыли, а точка – точкой максимума (рис. 12.3). На рис.12.4 это точки, в которых . Эта ситуация является наиболее типичной для микроэкономики: при малых объёмах выпуска издержки растут быстрее, чем доход от продаж; с увеличением объёма производства доход от продаж увеличивается быстрее, чем издержки, а начиная с некоторого уровня производства, издержки снова превышают доход от продаж.

Третий случай: если же и , то функция прибыли монотонно убывает и экстремумов не имеет. В этом случае производство нерентабельно.

Монополия. В случае монополии фирма сама выбирает цену, исходя из кривой спроса. Так как кривая спроса является убывающей, то и зависимость цены от спроса , обратная к функции спроса, является убывающей, поэтому . Функция дохода имеет вид . При той же функции издержек функция прибыли будет иметь вид .

Зная явный вид функции , можно найти оптимальный уровень производства как точку максимума функции прибыли (в этой точках по-прежнему предельный доход равен предельным издержкам). Графики функций дохода, издержек и прибыли показаны на рис. 12.5.

Функция среднего дохода совпадает с функцией цены от спроса и убывает. Функция предельного дохода

при любых объёмах выпуска так как (рис. 12.6).

Пример 9. Пусть зависимость цены от спроса имеет вид , функция издержек имеет вид . Найти объём производства, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.

Решение. Функция прибыли имеет вид:

.

Тогда . Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем: , .

Проверим достаточное условие экстремума: ,

,

следовательно, при функция прибыли достигает минимума.

,

следовательно, при функция прибыли достигает максимума. Максимальная прибыль

(денежных единиц).