Алгоритм вычисления пределов последовательностей

1) Определить вид неопределённости.

2) Преобразовать выражение, стоящее под знаком предела, таким образом, чтобы к нему можно было применить свойства пределов сходящихся последовательностей.

3) Вычислить предел, используя свойства пределов сходящихся последовательностей и значения пределов некоторых выражений.

Пример 1. Найти предел: .

Решение.

Пример 2. Найти предел: .

Решение.

Пример 3.Найти предел: .

Решение.

Пример 4.Найти предел: .

Решение.

Применение предела в экономике

Пусть первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Требуется найти размер вклада через лет.

Если по данному вкладу начисляются простые проценты, то размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину . Следовательно, через год сумма вклада составит денежных единиц, через два года денежных единиц и т. д., через лет сумма вклада составит денежных единиц.

При использовании сложных процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число раз , т.е. денежных единиц, через два года денежных единиц, и т. д., через лет сумма вклада составит денежных единиц.

Если проценты по вкладу начисляются чаще, чем один раз в год (например, поквартально), то через лет сумма вклада составит денежных единиц. В общем случае, если – процент начисления и год разбит на частей, то через лет сумма вклада составит денежных единиц. Эта формула называется формулой сложных процентов. её можно использовать также в демографических расчётах (прирост народонаселения), в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта, инфляция и т. п.).

Формулу сложных процентов можно преобразовать следующим образом:

.

При получаем последовательность , предел которой . Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам. В силу свойства 3 пределов сходящихся последовательностей, справедлива приближенная формула .

Решение обратной задачи: нахождение первоначальной суммы вклада при известных: конечной сумме, процентной ставке и сроке вклада, – называют дисконтированием. В этом случае величину называют дисконтированным значением величины .

Пример 5. Темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. По формуле сложных процентов имеем: , где – первоначальная сумма, 182 – число дней в полугодии, . Используя приближенную формулу, получаем: . То есть инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

Тема 2. Функции и их пределы

Понятие функции

Определение 1.Пусть даны два непустых числовых множества и . Если каждому элементу из множества по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент из множества , то говорят, что на множестве задана функция (или отображение) с множеством значений из множества . Множество называется областью определения функции (обозначается ). Множество называется областью значений функции.

Определение 2.Пусть функция задана на множестве , а функция задана на множестве и имеет область значений . Тогда функция , заданная на множестве называется суперпозицией функций(сложной функцией).

Определение 3.Функции ( ), ( , ), ( , ), , , , , , , , называются основными элементарными функциями.

Свойства и графики основных элементарных функций приводятся в приложении 1.

Определение 4.Функция, построенная из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня) и конечного числа суперпозиций, называется элементарной.

Определение 5.Функция называется рациональной, если в ней над аргументом проводится конечное число операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень (обозначается ).

Замечание.К рациональным функциям относятся: многочлен (полином, целая рациональная функция) степени с вещественными коэффициентами ( ) и дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов.

Определение 6.Функция называется иррациональной, если в составе алгебраических операций над аргументом имеется извлечение корня.

Определение 7.Рациональные и иррациональные функции называются алгебраическими.

Определение 8.Функции ( , ), ( , ), , , , , , , , , а также составленные из них с помощью конечного числа алгебраических операций элементарные функции называются трансцендентными.