Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим  => .

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25)):

 

, т.е. .

 

Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

 (28), ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

 

(30´), => c = (30´),  (29´)

 (28´), => b = 1 (28´),  (24´), где

 

- взаимно простые нечетные целые числа.

**********

Случай 3.

 

 (12)

 (13′)

 (14)

 (15′) , которые также являются решениями уравнения

 

 (11).

 

Тогда сумма имеет вид:

 

 

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

 

-  => .

 

Выразим из (31) и (16)  :

 

 =>  (32)

 => (33)

 

По условию  должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 

 (34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c ² + b ² = 2 β, то  и .

 

Из (15´) с учетом (20) выразим :

 

, т.е.  (24´).

Т.о. , , где , т.е.

,

,

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

 

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

 

 

т.к. , т.е. .

 

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

 

Теперь, учитывая (23), получим значение для b ² :

 

,т.к. из (20) получается

.

 

Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим  => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25´)):

 

, т.е.  (30´´).

Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

(30´´), ,

   (28),  (24´),

 

где  - взаимно простые нечетные целые числа.

 

***********

Случай 4

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

 (30´´´), =>  (30´´´),  (29´´´),  (28´), =>b= (28´ ),  (24), где

 

- взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

 = N

 = К

 

Тогда эти первые 4 случая следующие:

 

1. (12)  2. (12´)  (30´)

 (13´)  (28) (13)  (28´)

 (14)  (29) (14´)  (29´)

 (15)  (24) (15´)  (24´)

 

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

 (13´)  (28) (13)  (28´)

 (14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

 (15´)  (24´) (15)  (24).

 

Рассмотрим еще 4 случая.

 

5. с² = С 6. с² = - С 7. c² = C 8. c² = -C

 b² = - B b² = B b² = - B b² = B

 = - N  = N  = - N  = N

 

*******

 

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

 

 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15) , которые также являются решениями уравнения

 

 (11).

 

Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующие решения уравнения (15):

 

 (41), , где - взаимно простые нечетные целые  (40),  (38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

 

 (32) => b  (32), (24)

 (31) => с = (31),  (29´) ,

 

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.

 

 (31´),  (29),

 (32´),  (24´),

 

где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

*******

Случай 7.

 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15´), которые также являются решениями уравнения

 

 (11).

 

Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующие решения уравнения (15):

 (40),  (38´´´),

 (41´´),  (33´),

 

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

 (31) => с = (31),  (29´´´) ,

 (32´´) => b  (32´´),  (24´), где -