ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 2 страница

 

,

 

т.е.  пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), !

 

Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+»  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в (16+) и (17+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

 

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

*******

 

Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15)  есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15) являются следующие выражения n, :

 

Случаи «+» и «-».

(16±) ;

(17±) ;

(18±) ;

(19±) .

 

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)

******

Случай «-».

(16-) ;

(17-) ;

(18-) ;

(19-) .

Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в (16-) и (17-)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

*******

Примечание .

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.

 

********

 

Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), то си b могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями ( C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

 

с = B

b = С

n = N

«Новые» случаи «+» и «-».

 

(16´±) c =± В

(17´±) b =±С

(18±) =±N

(19±) =±К

 

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в ((16´±) и ((17´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев (пояснение ниже),рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.

 

********

Уравнение (15) симметрично и для n и для  (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями ( N и К). Это свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых nи  меняются своими выражениями ( N и К )).

Условие 3

c = C

b = B

n = К

N

« Похожие» случаи «+» и «-».

 

(16±) с = ± С = ± ( )

(17±) b = ± В =± ( )

(18´±) n = ± К = ± ( )

(19´±)  = ± N= ± ( )

 

Согласно одному из Выводов (формула (14))  (явно) при . Но это возможно, глядя на (19´±)  = ±N= ±( ) только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

********

Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

********

Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства »).

 

Запишем Условия (1, …, 3).

Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3

 

с = С с = B c = C c = B

b = B b = С b = B => b = C

n = N n = N n = К n = К

Если теперь поменять обозначения между собойв Условии 2+3 снаb , а b наc

в верхних двух строчках и n на , а  на n внижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1»нами будет исследовано до конца:

Условие 2+3 Условие 1

 

c = B b = B с = С

b = C => с = С => b = B

n = К  n = N

 n = N

Вывод.

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,

Уравнение (1)  ( ,  - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

2. 1-я часть «Утверждения 1» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.

 

*********

Часть вторая (Утверждения1)

 

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Условие 1 (продолжение).

Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.

Пояснение.

Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов ( c , b , n и ) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и «+» соответственно):

 

 

********

Случай 1.

 

 (16)

 (17′)

 (18)

 (19)

 

Тогда сумма имеет вид:

 

 

 

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

 

 => .

 

Выразим из (25) и (26) :

 

 =>

 => .

По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 

, , а их сумма .

 

Т.к. из (8) , то  => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

 

, т.е. .

 

Т.о., , , т.е.

 

,

 

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :

 

т.к. , т.е. .

 

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b :

 

, т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

 

Учитывая (35), получим  => .

Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):

 

, т.е. .

 

Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:

 

, ,

, ,

 

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.

 

, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 3

 

 (16)

 (17′)

 (18)

 (19′).