ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 4 страница

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и уравнение  при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при .

 

Случай 9

 

 (16)

 (17)

 (18´)

 (19)

 

Из (16) и (17) имеем:

 

 

Учитывая (14) и (19), можно получить разность  другим способом:

 

 => .

 

Следовательно,

 

= => 2 t = 4 r (  ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t = 2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 *********

Случай 10

 

 (16´)

 (17´)

 (18)

 (19´),

 

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

 

 

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность  другим способом:

 

 -  => .

 

Следовательно, - =- => 2 t = 4 r (  ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t = 2r (32´) => в (16´) и (17´) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

********

Случай 11

 

 (16)

 (17)

 (18)

 (19´)

 

Из (16) и (17) имеем:

 

 

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность  другим способом:

 

 -  => .

 

Следовательно, =- => 2 t = - 4 r (  ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

 

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

Случай 12

 

 (16´)

 (17´)

 (18´)

 (19),

 

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 11.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

 

 

Учитывая (14) и (19), можно получить разность  другим способом:

 

 => .

 

Следовательно, - = => 2 t = - 4 r (  ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

 

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

 

*******

Случай 13

 

 (16)

 (17)

 (18´)

 (19´)

 

Из (16) и (17) имеем:

 

 

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность  другим способом:

 

 -  => .

 

Следовательно, =- => 2 t = - 4 r (  ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

 

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

 

********

Случай 14

 

 (16´)

 (17´)

 (18)

 (19),

 

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 13.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

 

 

Учитывая (14) и (19), можно получить разность  другим способом:

 

 => .

 

Следовательно, - = => 2 t = - 4 r (  ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) =>  t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

 

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

 

***********

 

Вывод.

1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено .

**********

Условие 2 (продолжение).

 

Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями ( C и В). Это свойство нами было названо «новым свойством ».

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрелидва «Новых» случая «+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

********

«Новый» случай 15

 

(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b= -В , n= N , K)

с = - В (16-B),

b= С (17+C),

n= N (18),

K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.

 (40´),  (38´´),

,  (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

 

Доказательство

 

Сумма имеет вид:

 

 

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

 

 => .

 

Выразим из (25) и (26) :

 

 =>

 => .

 

По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 

, , а их сумма .

 

Т.к. из (8) , то  => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

 

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь найдем сумму с :

 

т.к. , т.е. .

 

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для с:

 

,

 

т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

 

Учитывая (34), получим  => .

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):

 

, т.е. .

 

Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

 

  , где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.

 

*********

Примечание

То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).

Случай 15. Случай 8

с = - В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19).

У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.

Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b .

«Общие свойства для с иb»:

сb= -СВ, с – b= -С -В , с – b=2К

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:

с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В = 2К.

Отсюда получаем квадратное уравнение

- 2К + С В =0 => X _1,2 = К ,

где, например, Х₁ = -b, а Х₂ = с, то есть

 

Х₁ = -b = К + = + = + = + = -В => b = В,

 

где на основании    и Х₁ = - b = -