ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 3 страница

 

 Тогда сумма имеет вид:

 

 

Учитывая (14) и (19′), можно получить разность :

 

-  =>  (26′).

 

Выразим из (25) и (26′) :

 

 =>

 => .

По условию  должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 (30′), (31′), а их сумма .

 

Т.к. из (8) , то  => .

 

Из (19´) с учетом (29) выразим :

 

, т.е.  (33´).

Т.о., , ,

 

где ,

т.е.  (34´),  (35´), выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :

 

т.к. , т.е. .

 

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

 

Теперь, учитывая (32), получим значение для b :

, т.к. из (29) вытекает .

 

Итак, .

Учитывая (35´), получим  =>  ( ).

Теперь, с учетом ( ), можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):

, т.е.  (39´´).

 

Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:

 (39´´),  (38´´), где - взаимно простые нечетные

,  (33´), целые числа.

********

Случай 4

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´), т.е.

 (39´´´),  (38´´´),  (37´),  (33),

 

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

 

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).

Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е

 

= С

= В

 = N

 = К

 

Тогда эти первые 4 случая следующие:

 

1. (16)  2. (16´)  (39´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (18´)  (38´)

(19)  (33) (19´)  (33´)

 

3. (16)  (39´´) 4. (16´)  (39´´´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (38´´) (18´)  (38´´´)

(19´)  (33´) (19)  (33)

 

*********

 

Рассмотрим еще 10 случаев.

 

5. с = С 6. с = - С 7. c = C 8. c = - C

b = - B b = B b = - B b = B

n= - N n = N n = - N n = N

 

9. с = С. 10. с = -С   11. с = С 12. с = -С

b = B b = -B b = B b = -B

n =- N n = N n = N n =- N

     

13. с = С 14. с = -С

b = B b =- B

n =- N n = N

 

*******

 

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5

 

 (16)

 (17´)

 (18´)

 (19).

 

Тогда сумма имеет вид:

 

 

 

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

 

 => .

 

Выразим из (25) и (26) :

 

 =>

 => .

По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то  => .

 

Из (19) с учетом (29) выразим :

 

, т.е. .

 

Т.о., , , т.е.

,

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность :

 

т.к. , т.е.  (36´).

 

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность ( b - n )- n :

где .

Т.к. b + c =2n, то b-2n = b - (b + c) = - c = -1 => c = 1 (40).

Учитывая (34), получим  =>  (38´).

Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):

 

, т.е.  (41).

 

Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:

 

 (41), , где - взаимно простые нечетные целые  (40),  (38´), числа

*******

Случай 6

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е.

 

 (40´),  (38),

 (41´),  (33´), где - взаимно простые целые нечетные числа.

 

*******

Случай7

 (16)

 (17´)

 (18´)

 (19´)

 

Тогда сумма имеет вид:

 

 

 

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность :

 

 =>  (26´).

 

Выразим из (25) и (26´) :

 

 =>

 => .

 

По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 

 (30´),  (31´), а их сумма .

Т.к. из (8) , то  => .

Из (19´), с учетом (29), выразим :

 

, т.е.  (33´).

Т.о., , , т.е.

 (34´),

 (35´),

 

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность :

 

т.к. , т.е.  (36´).

 

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность ( b - n )- n :

 

где .

Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c = 1 (40).

 

Учитывая (34´), получим  =>  (38´´´).

 

Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):

 

, т.е.  (41´´).

Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:

 (40),  (38´´´),

 (41´´),  (33´), где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 8

 

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.

 

 (40´),  (38´´),

,  (33), где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах: