ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 7 страница

Часть 2

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

 

**********

Часть первая (Утверждения 2)

Уравнение  (  - четное, q = 4 = 2 ^m , где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Доказательство

 

Итак, имеем уравнение  (1), где - четное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:  =>  (2).

 Пусть  (3), где  и β - целые числа, отличные от нуля и c ² + b ² = 2 β (4), где β – нечетное число при c и b - нечетных.

*********

 

Примечание

 

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b и c в виде:

 

b = 2 n ₁ + 1; c = 2 n ₂ + 1,

 

где n ₁ и n ₂- произвольные целые числа. Тогда

 

b ² + c ² = (2 n ₁ + 1)² + (2 n ₂ + 1)² = 2 [2 (n₁²+n₂²+n₁+n₂) + 1],

 

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.

*******

 

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):

 

= , где c ² + b ² ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.

 (5),

 

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при – целое число k - четное число , т.к.  пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2^l-2k – четное число при ).

Из соотношений (4) и (5) определяем b ² и c ²:

 =>  =>

 

Откуда β = b ² + 2 ^{l -2} k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2^l-2k - четном.

 

*********

Вывод:

 

1. Из соотношения (4) имеем:

 

(9) - нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

 

(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

 

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

,

 

т.е.  (11),

 

где  - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа  следующим образом:

 

(12)  - нечетное число при  - нечетном;

(13)  - нечетное число при  - нечетном;

(14)  - нечетное число при  - нечетном;

(15)  - четное число.

 

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r =0 (при t =0  и - четные из (12) и (13), при r =0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .

*******

 

Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

 = N

 = К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.

********

Условие1 (начало)

с² = С

b ² = B

 = N

Случай «+».

(12+)  - нечетное число при  - нечетном;

(13+)  - нечетное число при  - нечетном;

(14+)  - нечетное число при  - нечетном;

(15+)  - четное число.

 

Казалось бы, все нормально: четность чисел  в (12+),…, (15+) совпадают при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

 
,

 

т.е.  => ( ) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

 

!

 

Т.е., вопреки «Выводу»,  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном.

Однако, если  - четное, то  (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2)  и (1)  числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

 

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1)  в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах, где - четное натуральное число.

********

 

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (СмотриСлучай «-» на стр.8.)

********

Примечание

 

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.

 

********

 

Т.к. уравнение (11) симметрично для с² и b², (для уравнения (11) они равнозначны), то с² и b ² могут меняться своими выражениями ( C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.

 

 Условие 2 (начало)

 

с² = В

b ² = С

 = N

«Новые» случаи «+» и «-».

 

(12´±) c ² =± В

(13´±) b² =±С

(14±) =±N

(15±) =±К.

 

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в ((12´±) и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

*******

Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 

*******

Примечание

 

Осталось рассмотреть еще 14 случаев,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.

********

Уравнение (11 ) симметрично и для  и для  (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями ( N и К). Это свойство назовем «похожим свойством  и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых  и  меняются своими выражениями ( N и К)).

Условие 3 .

с² = С

b ² = B

 = К

« Похожие» случаи «+» и «-».

 

(12±) c ² = ± ( ) = ± С

(13±) b² = ± ( ) = ± В

(14´±) =  = ±К

(15´±) = ± N

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±)  = ±N= ±( ) только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 *******

Вывод

1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1)  (1), где - четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения 2» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая (Утверждения 2)

 

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

Доказательство

 

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо  (из ), либо  (из ), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Условие 1 (продолжение).

 

Случай 1.

 

 (12)

 (13′)

 (14)

 (15) ,

 

которые также являются решениями уравнения (11)

.

 

Тогда сумма имеет вид:

 

 

 

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

 

 => .