Утверждение 2» нами полностью доказано.

 

*******

Примечание

 

1. Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2 ^m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q=2 ^m при m >2 – натуральном.

2. Если уравнение a^l + b ⁴ = c ⁴ , где ≥2 - четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a , b , и c , то и уравнение a ⁴ + b ⁴ = c ⁴ не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).

 

Вывод :Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4доказана.

 

3. Результат доказательства, а именно четность чисел a , b , c в уравнении a^l + b ⁴ = c ⁴ ( ≥2 - четное), а, следовательно, в уравнении a ⁴ + b ⁴ = c ⁴ дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.

На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.

 

Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.

********

Утверждение 3

Часть 1

Уравнение  (  ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2 ^m , где m = 2 ) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1 .

*********

Часть первая (Утверждения 3)

Уравнение  (  ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2 ^m , где m = 2 ) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Доказательство

 

Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».

Итак, имеем уравнение  (1), где  ≥ 3 – нечетное натуральное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:

 

 =>  (2).

 

Пусть  (3), где  и β - целые числа, отличные от нуля и c ² + b ² = 2 β (4), где β – нечетное число при с и b – нечетных.

 

******

Примечание

 

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).

Представим нечетные числа b и c в виде:

b = 2 n ₁ + 1; c = 2 n ₂ + 1, где n ₁ и n ₂- произвольные целые числа. Тогда

 

b ² + c ² = (2 n ₁ + 1)² + (2 n ₂ + 1)² = 2 [2 (n₁²+n₂²+n₁+n₂) + 1],

 

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать

*******

 

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):

 

= , где c ² + b ² ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.

 (5),

 

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа.

 

Из соотношений (4) и (5) определяем b ² и c ²:

 

 =>  =>

 

Откуда β = b ² + 2 ^{l -2} k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2^l-2k - четном, т.к.  ≥ 3 – нечетное натуральное число.

Вывод:

 

1. Из соотношения (4) имеем:

(9) - нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

 

(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

 

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

 

,

 т.е.  (11),

 

где  - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа  следующим образом:

 

(12)  - нечетное число при  - нечетном;

(13)  - нечетное число при  - нечетном;

(14)  - нечетное число при  - нечетном;

(15)  - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r =0 (при t =0  и - четные из (12) и (13), при r =0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).

Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

 = N

 = К ,

 

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.

Условие1 (начало).

с² = С

b ² = B

 = N

Случай «+».

 

(12+)  - нечетное число при  - нечетном;

(13+)  - нечетное число при  - нечетном;

(14+)  - нечетное число при  - нечетном;

(15+)  - четное число.

 

Казалось бы, все нормально: четность чисел  в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

 

,

 

т.е.  => ( ) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

 

!

 

Т.е., вопреки «Выводу»,  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях  (2)  и (1)  числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

*******

Вывод . Следовательно, это уравнение (1)  в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах, где - нечетное натуральное число.

********

 

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)

*********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

 

Т.к. уравнение (11) симметрично для с² и b², (для уравнения 11 они равнозначны), то с² и b ² могут меняться своими выражениями ( C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало) .

 

с² = В

b ² = С

 = N

«Новые» случаи «+» и «-».

 

(12´±) c ² =± В

(13´±) b² =±С

(14±) =± N

(15±) =±К.

 

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в ((12´±) и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 

*******

Примечание

 

Осталось исследовать еще 14 случаев,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.

 

********

Уравнение (11) симметрично и для  и для  (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями ( N и К). Это свойство назовем «похожим свойством  и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых  и  меняются своими выражениями ( N и К)).

 

Условие 3 .

с² = С

b ² = B

 = К

«Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c ² = ± ( ) = ± С

(13±) b² = ± ( ) = ± В

(14´±) =  = ±К

(15´±) = ± N.

 

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±)  = ±N= ±( ) только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для  проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

*******

Вывод

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1)  (1), где  ≥ 3 – нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения3» (для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая (Утверждения3)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо  (из ), либо  (из ), либо b и c – четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.

Случай 1.

 

 (12)

 (13′)

 (14)

 (15) , которые также являются решениями уравнения

 

(11) .

 

Тогда сумма имеет вид:

 

 

 

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

 

 => .

 

Выразим из (17) и (16) :

 

 =>

 => .

 

По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 

, , а их сумма .

 

Т.к. из (4) c ² + b ² = 2 β, то  => .

Из (15) с учетом (20) выразим :

 

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

,

 

выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями

 

 

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

 

 т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b ² :

 

, т.к. из (20) получается

(20′).

 

Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо.