ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 6 страница

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*********

«Новый» случай 22

 

(Отличающийся «новым свойством » от случая 8: с = -С, b= В , n = N , K )

Случай 22. Случай 1.

с = В (16+B), с = С (16),

b= - С (17-C), b=- В (17´),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19)

 

Окончательные решения в случае 1:

, ,

,

 

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb » (сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

 

**********

Вывод

Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

*********

«Новый» случай 23

 

(Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с = С, b= В , n = - N , K )

Случай 23. Случай 12.

с = В (16+B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= - В (17´),

n= - N (18´), n= - N (18´),

K (19), K (19)

 

 Окончательный вывод в случае 12:   c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb » (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

 

********

«Новый» случай 24

(Отличающийся «новым свойством » от случая 10: с = -С, b= -В , n = N , - K )

Случай 24. Случай 11.

с = -В (16-B), с = С (16),

b=- С (17-C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

- K (19´), - K (19´).

 

Окончательный вывод в случае 11: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb » (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

*******

«Новый» случай 25

(Отличающийся « новым свойством » от случая 11: с = С, b= В , n = N , - K )

Случай 25. Случай 10.

с = В (16+B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= - В (17´),

n= N (18), n= N (18),

- K (19´), - K (19´).

 

Окончательный вывод в случае 10: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

 

*********

«Новый» случай 26

 

(Отличающийся «новым свойством » от случая 12: с = - С, b=- В , n = - N , K )

Случай 26. Случай 9.

 

с = - В (16-B), с = С (16),

b= - С (17-C), b= В (17),

n= - N (18´), n= - N (18´),

K (19), K (19).

 

Окончательный вывод в случае 9: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb » (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

********

«Новый» случай 27

(Отличающийся «новым свойством » от случая 13: с = С, b= В , n = - N , - K )

Случай 27. Случай «-».

с = В (16+B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= - В (17´),

n= - N (18´), n= - N (18´),

- K (19´), - K (19´).

 

Окончательный вывод в случае «-»: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb » ( сb= СВ = const´, с – b= - С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

********

«Новый» случай 28

 

(Отличающийся «новым свойством » от случая 14: с = -С, b= -В , n = N , K )

Случай 28. Случай «+».

 

с = - В (16-B), с = С (16),

b= - С (17-C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19).

Окончательный вывод в случае «+»: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

********

Вывод

1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены .

 

*********

Итак, уравнение (15) , если c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение  ( ,  - натуральные числа, где  при  - натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .

************

Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.

 

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

 

Вывод 1. Уравнение (1)  ( ,  - натуральные числа,  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо , либо .

 *******

 

В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.

Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение  (42), где - натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a , b , c .(Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. = = с + b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах).

При  «Исключением» являются , или .

(При  «Исключением» являются, например,  или ,при которых а = 2 ивыполняется тождество (этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a³ = c² - b² (43)являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:

 

a = α² – δ² - четное число при α и δ – нечетных или четных.

c = α³ + 3αδ² - четное число при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α²δ + δ³ - четное число при α и δ – нечетных или четных.

 

(Такой же результат получается (a, c, b – четные числа) для любого уравнения

 (42), где  - натуральное.)

Однако вернемся к уравнению (43) a³ = c² - b².

«Исключением» являются следующие его решения:

 

1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);

2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),

 

при которых получаем соответственно тождества:

1. 2³ ≡ (±3)² – (±1)²

2. (-2)³ ≡ (±1)² – (±3)²

**********

Примечание.

1. Великая теорема Ферма для  доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

2. Для степени p = 2 в уравнении  такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

3. Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя  простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при  простом. Имея дело с уравнением (44) , где  простое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам ‌‌| a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).

Вывод: Великая теорема Ферма для степени  простом доказана.

********

Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4

Часть 1

Уравнение  (  - четное, q = 4 = 2 ^m , где m = 2 ) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.