Понятия теории сложного движения

Будем рассматривать движение точки M по отношению к двум различным системам координат O₁X₁Y₁Z₁ и OXYZ, которые движутся одна относительно другой.

Поставим задачу: определить движение точки M (рис.1.4) по отношению к системе координат O₁X₁Y₁Z₁, если дано:

1) движение точки M по отношению к системе координат OXYZ;

2) движение системы OXYZ по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁.

При такой постановке задачи движение точки M по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁ называют сложным (или составным), так как оно определяется через два промежуточных движения 1) и 2), которые называют составляющими движениями.

Сложением движений называют определение движения точки M относительно системы координат O₁X₁Y₁Z₁ по составляющим движениям.

В теории сложного движения одна из систем координат принимается за основную систему и условно называется неподвижной. Тогда вторая система координат называется подвижной. Выбор той или иной системы координат в качестве основной определяется условиями поставленной задачи. Для нашей постановки: O₁X₁Y₁Z₁ - неподвижная система координат; OXYZ - подвижная система координат.

Движение точки M в неподвижной (основной) системе координат называют абсолютным, движение точки M в подвижной системе координат называют относительным. Соответственно этому траекторию, скорость и ускорение точки M по отношению к основной системе координат называют абсолютными; траекторию, скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе координат называют относительными.

Кинематические элементы абсолютного движения точки M обозначают индексом a, элементы относительного движения – индексом  (от французского слова relativus – относи-тельный). Обозначим радиус-вектор, определяющий положение точки M в неподвижной системе координат, ; а радиус-вектор, определяющий положение точки M в подвижной системе координат, . Тогда уравнения абсолютного движения точки M:

                        x₁= x₁(t), y₁= y₁(t),  z₁= z₁(t);              (1.11)

уравнения относительного движения точки M:

                            x = x(t), y = y(t),  z = z(t).                  (1.12)

Уравнения (1.11) определяют и уравнения абсолютной траектории точки M в параметрической форме; уравнения (1.12)   определяют   уравнения    относительной   траектории

точки M в параметрической форме.

Заметим, что абсолютная траектория точки M есть абсо-лютный годограф вектора ; относительная траекто-рия точки M есть относительный годограф вектора .

Используя известное определение скорости точки (как производной по времени от радиуса-вектора этой точки в выбранной системе отсчета) и понятия абсолютной и относительной производной вектор-функции (разд.1.1, часть II), получим для абсолютной и относительной скоростей точки M соотношения

;

.

Заметим, что вектор  направлен по касательной к абсолютной траектории точки M, а вектор  - по касательной к относительной траектории точки M (рис.1.5).

Аналогично в соответствии с определением ускорения точки как производной по времени от скорости точки в рассматриваемой системе отсчета абсолютное и относитель-ное ускорения точки M определяются формулами

;

.

Приведем понятия переносного движения, переносной скорости и переносного ускорения. Для этого предварительно напомним, что в механике система координатных осей всегда предполагается жестко скрепленной с телом, по отношению к которому изучается движение. На рисунке тело не показывается. В дальнейшем будем обозначать  - точки тела, с которым скреплена подвижная система координат OXYZ (иначе говоря,  - точки подвижной системы координат). Заметим, что в относительном движении точка M в различные моменты времени совпадает с различными точками подвижной системы координат.

Переносным движением называют движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной системе координат. Переносной скоростью (переносным ускорением) точки M в данный момент времени называют вектор, равный абсолютной скорости (абсолютному ускорению) той точки  подвижной системы координат, с которой в этот момент времени совпадает движущаяся точка M. Элементы переносного движения будем обозначать индексом  (от французского слова entraîner – увлекать с собой, переносить). Таким образом, , .

Пример 1.1. Прямолинейная трубка AB (рис.1.6) вращается относительно неподвижной опоры по закону a=a(t) вокруг оси O₁Z₁, перпендикулярной плоскости чертежа. В трубке находится шарик M, который двигается относительно трубки по некоторому закону OM = . Определить скорость и ускорение шарика относительно трубки, переносные скорость и ускорение шарика, уравнения его абсолютного движения.

Решение. Пусть O₁X₁Y₁Z₁ – неподвижная система координат, скрепленная с опорой. Движение шарика M по отношению к этой системе координат есть абсолютное движение. По условию задачи это – сложное движение, для которого составляющими движениями являются: 1) движе-ние шарика по отношению к трубке и 2) движение трубки относительно неподвижной системы координат. Следователь-но, подвижную систему координат OXYZ в этой задаче следу-ет связать (скрепить) с трубкой (рис.1.6). Таким образом:

1) относительное движение шарика; его уравнения x = OM = f(t), y =0, z =0; относительная траектория – прямая линия OB; относительная скорость шарика ; относительное ускорение шарика ; векторы  и  показаны на рис.1.6 в предположении, что функции и  возрастают;

2) переносное движение; его уравнение – уравнение вращательного движения тела AB – a=a(t); переносная скорость шарика , где m – та точка трубки, с которой в момент времени t совпадает шарик M (рис.1.6), следовательно, = = ; переносное ускорение шарика ; , где ; ; ; направ-ления векторов ,  показаны на рис.1.6 в предполо-жении, что функции a=a(t) и a¢(t) возрастают.

Уравнения абсолютного движения шарика x₁= x₁(t), y₁= y₁(t),  z₁= z₁(t)  легко определяются (рис.1.6):

x₁=OMcosa=f(t)cosa(t),  x₁=OMsina=f(t)sina(t), .