Система параллельных сил

Примем ось OZ, параллельную силам. Выделяя из общих уравнений (4.2) выражения, не сводящиеся заведомо к тождествам, получим:

           = 0; ( ) = 0; ( ) = 0.   (4.6)

Можно было бы записать также уравнения равновесия для других частных случаев расположения сил, однако ввиду их простоты нет особой необходимости эти случаи выделять.

Мы не рассматриваем здесь также задачи равновесия сочлененных твердых тел, отсылая к более подробным учебникам.

Глава 5. Центр системы параллельных сил

Рассмотрим произвольную систему параллельных сил , приложенных к твердому телу в точках А₁,…, А _n (рис.5.1), имеющих в некоторой системе координат OXYZ радиусы-векторы ,…, .

Будем предполагать, что главный вектор = ≠ 0  и следовательно, система  имеет равнодействующую =  (разд. 3.1), так как моменты всех сил относительно любого общего центра перпендикулярны силам, а значит, главный момент перпенди-кулярен главному вектору.

Введем единичный вектор , параллельный векторам сил системы. Тогда

                   = , = (s =1,…, n),            (5.1)

где ,  - проекции векторов  и  на направление .

Заметим, что если векторы всех сил системы одновременно поворачивать на один и тот же угол вокруг их фиксированных точек приложения, сохраняя величины , , то равнодействующая заданной системы сил также одновременно поворачивается на тот же угол вокруг некоторой фиксированной точки. Эту точку называют центром системы параллельных сил. Найдем эту точку.

Пусть – радиус-вектор точки А приложения равно-действующей. По теореме Вариньона (разд. 2.5) для центра моментов в начале координат будем иметь:

×  = ,   или ×  = ,

откуда получаем × = 0.

Полученное соотношение остается справедливым при любом направлении вектора , т.е. – и для других систем сил, отличающихся от данной только вектором  для систем сил с теми же проекциями  и точками приложения А _s, но одинаково повернутых по отношению к силам системы . Значит,

                                 – = 0.                         (5.2)

Это соотношение и определяет радиус-вектор  фиксиро-ванной точки, которая не изменяет своего положения при одновременном одинаковом повороте линий действия сил системы (принято обозначать эту фиксированную точку C):

                    = = .                  (5.3)

Показали, что такая фиксированная точка существует и получили соотношение (5.3), определяющее ее радиус-вектор.

Таким образом: центр системы параллельных сил - это фиксированная точка приложения равнодействующей, получаемая при одинаковых изменениях направлений сил системы с фиксированными точками их приложения.

В элементарном случае двух параллельных сил , , приложенных в точках А₁,А₂ (рис.5.2), точка С, делящая отрезок обратно пропорционально величинам  и , и будет центром этих двух параллельных сил, что легко получить из формулы (5.3) и что вытекает из правила сложения двух таких сил. Точка С не изменяет своего положения при одинаковом повороте всех сил системы.

Глава 6. Условия равновесия несвободного твердого тела (частные случаи)