Некоторые следствия общих теорем

Обычно в учебниках по теоретической механике для пар сил более или менее подробно излагаются теоремы, относящиеся к эквивалентности пар, их сложению, равновесию. В принятом здесь изложении курса все эти теоремы получаются как непосредственные следствия основ-ной теоремы статики и общей теоремы эквивалентности.

1. Теорема об эквивалентности пар сил (эквивалентность пар). Для эквивалентности двух пар сил необходимо и достаточно, чтобы их векторы-моменты были равны.

Этот результат сразу вытекает из теоремы эквивалентности, так как главные векторы пар сил равны нулю, а их главные моменты для любого центра совпадают с моментами пар по определению.

На рис.2.3 изображены три эквивалентные пары сил. Они действуют в параллельных (или совпадающих) плоскостях (  обозначает здесь момент пары сил).

= ( ,– ) = ( ,– ) = ( ,– )

F₁r₁ = F₂r₂ = F₃r₃.

2. Теорема о сложении пар сил (сложение пар). Система ,– ),…,( ,– , состоящая из нескольких пар сил, эквивалентна одной паре сил ( ,– ), момент которой равен сумме моментов заданных пар:

( )∾ ,…,  <=> = .

Обоснования те же, что и в предыдущем случае (провести доказательство самостоятельно).

3. Теорема о равновесии системы пар сил (равновесие пар). Для равновесия системы пар сил ,…,  необходимо и достаточно, чтобы была равна нулю сумма векторов моментов пар системы:

=0.

Доказательство провести самостоятельно (оно опирается на общую теорему статики).

Таким образом, из всех этих случаев ясно, что характер-ной «мерой действия» пар являются их векторы-моменты (а не силы, которые можно подбирать по-разному; рис.2.3).

4. Теорема о трех силах. Если система трех сил уравнове-шенная, то линии действия их пересекаются в одной точке.

		Рис.2.4

Доказательство. Пусть , ,  – эти силы (рис.2.4). Возьмем центр приведения О налинии действия, например, силы . Тогда в соответствии с основной теоремой статики

( )+ ( )=0,

следовательно, силы  и  лежат в одной плоскости, проходящей через точку О, а значит, и все эти три силы лежат в этой плоскости.

Если теперь А – точка пересечения линий действия сил  и , то, заменив эти силы их равнодействующей = + , приложенной в А, мы по первой аксиоме заключаем, что и линия действия  должна пройти через точку А.

В предельном случае трех параллельных сил точку А можно считать бесконечно удаленной.

5. Теорема Вариньона. Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольной точки (произвольной оси) равен сумме моментов составляющих сил относительно той же точки (той же оси).

Доказательство. Пусть ( ,…, )∾ , тогда по теореме эквивалентности:

                             ( )=  ( )                    (2.12)

для любой точки О. Проектируя левую и правую части равенства (2.12) на любую ось, проходящую через О, иучитывая связь между моментами силы относительно точки и относительно оси, получим утверждение теоремы и для оси (предлагается подтвердить это самостоятельно).

Глава 3. Некоторые общие результаты в задаче