Сложение вращательных движений

Постановка задачи. Дано: 1) движение тела T по отношению к системе координат OXYZ – вращательное с осью вращения OZ и угловой скоростью ; 2) движение подвижной системы координат OXYZ по отношению к системе координат O₁X₁Y₁Z₁ – вращательное с осью вращения O₁Z₁ и угловой скоростью .

Определить движение тела T по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁. При решении этой задачи могут представиться разные случаи, каждый из которых разберем отдельно.

3.3.1. Сложение вращательных движений с пересекающимися осями OZ и O ₁ Z ₁

Пусть тело T, совершающее сложное движение, - диск (рис.3.3), свободно насаженный на вал B, который вращается (по отношению к неподвижной опоре) вокруг оси O₁Z₁.

Здесь  – угловая скорость вращательного движения диска по отношению к системе координат OXYZ (показана только ось OZ), скрепленной с валом;  – угловая скорость вращательного движения вала по отношению к системе координат O₁X₁Y₁Z₁, скрепленной с опорой.

Теорема. При сложении вращательных движений с угловыми скоростями  и , оси которых пересекаются, абсолютное движение тела будет мгновенно вращательным с угловой скоростью .

Доказательство. Найдем скорость произвольной точки M тела по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁, рассматривая движение точки M как сложное. По теореме о сложении скоростей: . Относительную скорость точки M определим, используя формулу для скорости точки вращающегося твердого тела - , так как по отношению к подвижной системе координат, скрепленной с валом, диск совершает вращательное движение с угловой скоростью . Переносную скорость точки M найдем в соответствии с определением переносной скорости (разд.1.2) - . Здесь m – точка, жестко скрепленная с подвижной системой координат (т.е. с валом), совершающей по отноше-нию к неподвижной системе O₁X₁Y₁Z₁ вращательное движе-ние с угловой скоростью . Значит , , т.е.  и . Обозначив , получим

                                     .                             (3.1)

Из соотношения (3.1) следует, что в данный момент для точки P тела (рис.3.3) , так как  и  – коллинеарные векторы. Отсюда на основании теоремы о мгновенной оси вращения (разд.2.2) заключаем, что в данный момент существует мгновенная ось вращения тела (это будет прямая Ol, показанная на рис.3.3) и существует вектор  такой, что для любой точки M тела

                                    ,                            (3.2)

т.е. в соответствии с определением, приведенным в гл.2, движение тела – мгновенно вращательное, а вектор мгновенной угловой скорости  (что следует из (3.1) и 3.2)). Теорема доказана.

В символьной записи: ∾ , где .

Замечание 1. Формулировка и доказательство теоремы приведены для случая сложения вращательных движений, но легко заметить, что все рассуждения будут справедливыми и для случая сложения мгновенно вращательных движений. Таким образом, теорема имеет место и для мгновенно вращательных вращений.

Замечание 2. Полученный результат легко распространить и на общий случай сложения произвольного числа вращательных движений с пересекающимися в одной точке осями. Пусть дано:

1) движение тела T (диска на рис.3.4) относительно подвижной системы координат OXYZ (показана только ось OZ), скрепленной с валом B, – вращательное с угловой скоростью  и осью вращения OZ;

2) движение системы OXYZ (вала B) относительно системы координат O₁X₁Y₁Z₁ (скрепленной с рамкой K) – вращательное с угловой скоростью  и осью вращения O₁Z₁;

3) движение системы O₁X₁Y₁Z₁ (рамки K) относительно системы координат O₂X₂Y₂Z₂, принимаемой за основную (скрепленную с опорой), – вращательное с угловой скоростью  и осью вращения O₂Z₂. Требуется определить движение тела T по отношению к системе O₂X₂Y₂Z₂, если оси OZ, O₁Z₁, O₂Z₂ пересекаются в одной точке O (рис.3.4).

Повторяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, принимая при этом движение тела T относительно системы O₁X₁Y₁Z₁ за относительное, а движение 3) – за переносное и учитывая замечание 1, получим

. (3.3)

Сопоставляя (3.3) и (3.2), приходим к результату: абсолютное движение тела – мгновенно вращательное с вектором мгновенной угловой скорости ; Ol - мгновенная ось вращения.

В общем случае сложения n движений (в символьной записи): ∾ , .

Замечание 3. Справедливо и обратное положение: ∾ , т.е. вращательное (мгновенно вращательное) движение тела с угловой скоростью  можно рассматривать как сложное, состоящее из составляющих вращательных (мгновенно вращательных) движений с угловыми скоростями , , оси которых пересекаются. Здесь + = .