Общий случай пространственной системы сил

Выберем произвольную прямоугольную систему коорди-натных осей OXYZ, по отношению к которой рассматривается равновесие твердого тела, находящегося под действием некоторой системы сил  (рис.4.1).

Из формул, определяющих главный вектор этой системы и ее главный момент :

= , =  ( )

можно записать равенства в проекциях для главного вектора (X, Y, Z)и главного момента  данной системы сил  (s = 1,…, n):

    X= , Y= , Z= ;                              (4.1)

= ( ), M_y= ( ), = ( ),

где, напомним, все проекции моментов  (точка О - точка пересечения осей OX, OY, OZ) равны моментам сил  относительно этих осей.

Основная теорема статики (разд. 2.3) дает необходимые и достаточные условия равновесия = 0, = 0. С учетом (4.1) их можно записать в развернутой скалярной форме:

                    = X₁ + X₂ + … +  = 0;                              

                    = Y₁ + Y₂ + … +  = 0;

                    = Z₁ + Z₂ + … +Z_n = 0;                      (4.2)

                   ( ) = M_x( ) + … + M_x( ) = 0;

                   ( ) = M_y( ) + … +M_y( ) = 0;

( ) = M_z( ) + … +M_z( ) =0.

Уравнения (4.2) представляют собой общие уравнения равновесия пространственной системы сил (общие уравнения статики твердого тела).

Уравнения статики служат для решения многих приклад-ных технических задач. Такие задачи могут содержать разно-образные неизвестные (силы, размеры, углы и пр.). Такого рода задачи равновесия, если в них число неизвестных превышает число действующих (т.е. независимых и не сводящихся к тождеству) уравнений статики вида (4.2), принято называть статически неопределенными.

Плоская система сил

Весьма распространен в приложениях случай, когда действующие на тело силы расположены в одной плоскости. Выбирая произвольно в этой плоскости неподвижные координатные оси OXY, для этого частного случая из общих уравнений (4.2) получим всего три уравнения равновесия, отбрасывая соотношения, обращающиеся в тождественные нули:

                       = X₁ + X₂ + … +X_n = 0;                      

                       = Y₁ + Y₂ + … + Y_n = 0;                  (4.3)

                      ( ) = M_z( ) + … + M_z( ) = 0.

Для плоских систем сил, в предположении, что на плоскость действия сил всегда смотрят с одной стороны, с положительного конца оси Z, принято моменты сил относительно осей, перпендикулярных плоскости сил, называть (условно) “моментами относительно точек” пересечения этих осей с плоскостью (эту величину в случае плоской системы сил называют алгебраическим моментом силы относительно точки). В этом есть некоторое терминологическое нарушение (момент силы относительно точки ранее определен как векторная величина), однако к этому легко привыкнуть, так как обычно уславливаются, что моменты сил относительно точек для пространственных и плоских систем сил понимаются несколько по-разному.

Если бы мы всегда применяли понятие момента силы относительно точки как величины векторной (разд. 1.4), то для плоской системы сил имели бы векторы-моменты относи-тельно точек этой плоскости только двух противоположных направлений. Это и позволяет удобнее оперировать векторами-моментами, переходя к величинам скалярным. С учетом этого уравнения плоской статики записывают в виде:

                       = X₁ + X₂ + … +X_n = 0;                            

                       = Y₁ + Y₂ + … + Y_n = 0;                   (4.4)

                      ( ) = M_O( ) + … + M_O( ) = 0.

Здесь точка О - произвольная точка плоскости сил системы.