Понятие о производной вектора по скалярному аргументу

Напомним некоторые известные понятия [2, 3, 4, 7, 10]. Пусть в системе координат OXYZ (рис. 1.1) задан переменный вектор

                                                      (1.1)

как непрерывная функция скалярного аргумента t, т.е. вектор-функция. Здесь a_X = a_X(t), a_Y = a_Y(t), a_Z = a_Z(t) - проекции вектора  на оси OX, OY, OZ соответственно; , , - орты этих осей. Как известно [3, 10], производной вектор-функции  по скалярному аргументу t называют вектор, определяемый формулой

                              = ,                            (1.2)

где – приращение вектора , соответствующее  прираще-

нию аргумента Dt = t₁-t в выбранной системе координат, т.е. = = (t₁)- (t) или

=[a_X(t₁) -a_X(t)] +[a_Y(t₁) -a_Y(t)] +[a_Z(t₁) -a_Z(t)] ;

                        .                (1.3)

Направлен вектор  по касательной к годографу дифферен-

цируемого вектора . Напомним также, что годографом вектор-функции  называют кривую, описываемую концом вектора , начало которого перенесено в неподвижную в данной системе координат OXYZ точку (например, O), при непрерывном изменении скалярного аргумента t (рис.1.2).

Уравнения годографа вектора , заданного в системе координат OXYZ, имеют вид (в параметрической форме)

                      a_X = a_X(t),   a_Y = a_Y(t),  a_Z = a_Z(t).              (1.4)

Из приведенных определений и формул (1.2) – (1.4) следует, что понятия производной вектор-функции по скаляр-ному аргументу и годографа вектора являются относитель-ными и необходимо всякий раз при использовании этих понятий четко указывать выбранную систему координат.

Будем рассматривать теперь две системы координат O₁X₁Y₁Z₁ и OXYZ, движущиеся одна относительно другой, и вектор-функцию  скалярного аргумента t, заданную в этих двух системах координат (рис.1.3). Пусть:

                             = ;                      (1.5)

                               = .                       (1.6)

Обозначения в формулах (1.5) и (1.6) имеют тот же смысл, что и в формуле (1.1). Далее для определенности будем полагать, что задано движе-ние системы координат OXYZ относительно системы O₁X₁Y₁Z₁. В таком случае систему координат O₁X₁Y₁Z₁ называют основной (или условно-неподвижной), а систему OXYZ - подвижной.

Приращения вектора , соответствующие одному и тому же приращению аргумента Dt = t₁-t, будут разными в разных системах координат. При этом приращение вектора  в неподвижной (основной) системе координат O₁X₁Y₁Z₁ называют абсолютным, обозначая его ; приращение вектора  в подвижной системе координат – относительным, обозначая его . Следовательно,

= + + ; (1.7)

= + + .    (1.8)

Соответственно этому называют производную вектор-функции  по скалярному аргументу в неподвижной системе координат O₁X₁Y₁Z₁ абсолютной, обозначая ее , а производную вектор-функции в подвижной системе координат OXYZ - относительной, обозначая ее . Здесь в соответствии с соотношением (1.2):

; .

С учетом (1.7) и (1.8) получаем

                      ;              (1.9)

                       .             (1.10)

Заметим, что в общем случае . Действительно,

               ,

где сумма первых трех слагаемых есть  (по соотношению (1.10)), а последние три слагаемых отличны от нуля вследствие заданного движения системы координат OXYZ по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁, что и доказывает наше замечание. Заметим, что в некоторых учебниках и руководствах вместо обозначения  используют , относительную производную обозначают  [3].

Аналогично будем называть кривую, описываемую в неподвижной системе координат O₁X₁Y₁Z₁ концом вектора , начало которого перенесено в точку O₁, абсолютным годографом вектора ; кривую, описываемую в подвижной системе координат OXYZ концом вектора , начало которого перенесено  в  точку O, - относительным  годографом вектора . Уравнения абсолютного годографа вектора :

; ; ;

уравнения относительного годографа вектора :

a_X = a_X (t), a_Y = a_Y (t), a_Z = a_Z (t).