О приведении системы сил к простейшему виду

(о сложении сил)

Пусть рассматривается система сил ( ,…, ), приложен-ных к твердому телу. Обсуждаются некоторые вопросы в задаче о сложении сил.

Условие существования равнодействующей

Для того чтобы некоторая система сил имела отличную от нуля равнодействующую, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор  и главный момент  для произвольно выбранного центра приве-дения О были ортогональны.

Действительно, если равнодействующая  существует, то по теореме эквивалент-ности для любого центра О ( ) = . По определению ( )^ . Значит, и ^  (случай ( ) = 0, т.е. когда точка О лежит на линии действия , можно рассматривать как предельный).

Обратно, если для какого-либо центра О имеем ^ , то по теореме о приведении к силе и паре эту пару, имеющую момент , можем построить так (рис.3.1), чтобы одна из ее сил была равна  -  и приложена в О. Тогда вторая сила пары и будет равнодействующей = . (При = 0 вопрос решается сразу). Отметим, что если ставить вопрос о существовании «нулевой» равнодействующей, то положительный ответ на него возможен лишь при = 0 (т.е. в предельном случае равновесия), так как иначе ( ≠ 0) система сил приводится к паре и равнодействующей не имеет.

Связь между главными моментами относительно двух

центров. Инварианты

Пусть  и  - главный вектор и главный момент неко-торой системы сил относитель-но центра приведения А.

Главный момент той же системы для любого другого центра В (рис.3.2) можно получить в виде суммы: момента , рассматриваемого как свободный вектор-момент пары, и момента силы , приложенной в точке А, относительно В. Таким образом:

                                 = + × .                         (3.1)

Если ≠0, то, умножая скалярно обе части (3.1) на  (с учетом ( × ) ^ ), получим = .

Следовательно, для всех центров приведения С величины  и ( ) являются неизменными (для главного вектора  это очевидно по определению). Это – инварианты данной системы сил.

Если же =0, то из (3.1) прямо следует = , т.е. инвариантом является сам главный момент, что ясно также из того, что система сил в этом случае приводится к паре.

Динамический винт

Пусть  и  – главный вектор и главный момент для центра А, рис.3.3.

Проводя элементарные преобразования и используя теорему, обратную теореме о сложении пар, заменим пару с моментом , получающуюся при приведении сил к центру А, двумя парами с моментами  и , выбирая  по  (или противоположно), а  - перпендикулярным . Эту замену можно делать по правилу сложения пар (разд. 2.5). При этом для пары с моментом  выберем одну из ее сил так, чтобы она была равна  –  и приложена в точке А (как и в разд. 3.1). Тогда после отбрасывания уравновешенной системы сил ( , – ), получим силу , приложенную в точке О, положение которой ясно из рис.3.3 (где отмечены прямые углы), и пару с моментом . Этот момент (как свободный вектор) можно перенести в точку О, и он, очевидно, будет равен главному моменту данной системы сил относительно этой точки O: = .

Система, состоящая из силы , приложенной в точке О, и пары с моментом  ( || ), называется динамическим винтом. Из рис.3.3 ясно, что  является минимальным по модулю главным моментом системы сил.

Прямая, проходящая через точку О, по которой направлены  и , называется центральной осью системы сил. Конечно, с самого начала центр О мы могли бы выбрать в любой точке центральной оси, и величины  и  были бы теми же самыми.

Краткие выводы

Подытоживая результаты, относящиеся к задаче приведения элементарными преобразованиями произвольной системы сил, действующих на твердое тело, к простейшему виду, получаем для общего случая:

1. Система сил приводится к двум силам, одна из которых приложена в произвольно выбранной точке.

2. Система сил приводится к системе, состоящей из силы, равной главному вектору системы и приложенной в произвольно выбранном центре приведения С, и пары, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения:

= , = ( ).

3. Система сил приводится к динамическому винту.

Частные случаи. Из 2 следует, что если:

- = 0, система сил приводится к паре с инвариантным (для всех центров приведения) моментом ;

- ^  или = 0, система сил приводится к равно-действующей = , приложенной в соответствующей точке (разд. 3.1);

- = 0, = 0, система сил уравновешена.

Упражнение. Показать, что для системы сил, располо-женных в одной плоскости, а также для сил параллельных, будет иметь место один из частных случаев.

Глава 4. Уравнения равновесия системы сил