Теорема 2. Приведение к силе и паре

Всякую неуравновешенную систему сил ( ,…, ), приложенную к твердому телу, элементарными преобразо-ваниями можно привести к системе, состоящей из силы, приложенной в произвольно заданном центре приведения О, и пары сил. Причем вектор этой силы равен главному вектору  системы сил, а момент этой пары равен главному моменту данной системы относительно этого центра.

В аналитической записи:

( ,…, )∾ , ( ,

= , ( ,– )= ( ).

Доказательство. Пусть задана произвольная точка О и неуравновешенная система действующих на твердое тело сил ( ,…, ). Пусть в соответствии с теоремой 1 она приведена к системе двух сил  и , приложенных соответственно в точках О и А (рис.2.2). Добавив в точке О две противоравные силы  и –  и сложив первую с силой , получим приложенную в О силу = + . Две оставшиеся силы:  (в точке А) и  –  (в точке О) образуют пару ( , – ), момент которой, будучи равным моменту силы  этой пары относительно точки О, будет по (2.3) равен главному моменту системы ( ,…, ) относительно О, т.е.

( ,– )= = ( ) и .

Доказательство завершено.

Сделаем существенное замечание. Если при приведении системы сил ( ,…, ) к двум силам ( , ) имела место (при фиксированном центре О) многозначность, то при приведении этой системы к силе и паре сил мы всякий раз будем получать одну определенную силу (она однозначно определяется  главным  вектором ) и  различные пары ( , – ), но с одним и тем же моментом (имеется в виду многозначность сил различных пар; ясно, что по свойству преобразований все такие пары эквивалентны). Он равен неизменному для выбранного центра главному моменту = ( ).

Заметим еще, что хотя между векторами моментов

( ,– ) и = ( ) есть равенство ( , – )= , тем не менее отождествлять эти два вектора не следует, так как справа находится вектор, приложенный строго в центре О, а слева – свободный вектор (момент пары).

Перейдем к двум важнейшим теоремам нашего курса.

2.3. Теорема3. Основная теорема статики

Для того чтобы некоторая система сил ( ,…, ) была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы и ее главный момент относительно произвольного центра были равны нулю.

Доказательство. 1. Необходимость. Из теоремы о приве-дении любой системы сил к двум силам следует, что ( ,…, )∾( , ) и

                                  = = + ;                          (2.4)

                 = ( )=  ( )+  ( ),         (2.5)

где С – произвольная точка.

Из условия равновесия ( ,…, )∾0 по свойству элементарных преобразований получим ( , )∾0, и, значит, на основании первой аксиомы силы и  должны быть системой противоравных сил (в эту систему включаются и нулевые системы). Следовательно, из (2.4) и (2.5) необходимо следует: =0, =0.

2. Достаточность. Пусть для заданной системы справедливо: =0, = 0. Тогда из (2.4) и (2.5) получаем

+ = 0, ( )+ ( )= 0,

откуда следует, что  и  – силы противоравные и по первой аксиоме уравновешены, а значит, уравновешена и эквивалентная им система сил, т.е.

( ,…, )∾0.

Доказательство закончено. Эта теорема лежит в основе всех уравнений равновесия тел.

2.4. Теорема4. Теорема эквивалентности

Для того чтобы две системы сил были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они имели равные главные векторы и равные главные моменты относительно произволь-ного центра.

Доказательство. 1. Необходимость. Если две системы сил эквивалентны

                             ( ,…, )∾( ,…, ),                     (2.6)

то по определению они имеют одну и ту же уравновеши-вающую систему, за которую можно принять (аксиомы 1, 2 и следствие 2), например, систему сил (– ,…,– ), противо-равных силам системы ( ,…, ). Тогда из (2.6)

                          (– ,…,– , ,…, )∾0                  (2.7)

откуда по основной теореме статики:

                               + =0;                        (2.8)

                         + =0,                 (2.9)

где О – произвольно выбранный центр моментов.

Но для противоравных сил (– ) = – ( ); из предыдущих равенств получаем:

                                   = ;                         (2.10)

                            = ,                  (2.11)

что и требовалось доказать.

2. Достаточность. Приняв теперь равенства (2.10) и (2.11) за исходные, мы обратными рассуждениями последовательно убеждаемся в справедливости (2.8) и (2.9), затем (2.7) и, наконец, (2.6), что завершает доказательство теоремы (предлагается провести это доказательство самостоятельно).