Непрерывность функции в точке

При рассмотрении  поведение функции  в точке  не учитывается. Если этот предел существует, то в точке возможны случаи:

1)  в точке  не определена;

       2)  в точке  определена, но

3) в точке  определена и

       В особый класс функций выделяются те, у которых имеет место случай .

       Определение 1. Функция  , определенная на , называется непрерывной в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е.

      Используя определения предела, получим эквивалентые определения.

     Определение 2. Функция называется непрерывной в  точке , если для любой последовательности { }, ,  ,  , соответствующая последовательность значений функции { } сходится к .

    Определение 3. Функция  называется непрерывной в точке , если   такое, что   , | |<   выполняется неравенство | - )|< .

В определении предела функции в точке имеется еще условие

( ). В определениях 2 и 3 эти условия не нужны, т.к.  в точке  должна быть определена.

Разность называется приращением аргумента в точке   и обозначается через ;разность называется приращением функции  в точке  и обозначается через ).Любое значение аргумента + , причем  при   и  при . Соответственно .

   Определение 4. Функция  называется непрерывной в точке , если  такое, что  выполняется неравенство | |< , если | |< .

Это определение означает, что  в точке  является бесконечно малой функцией от , если .

   Определение 5. Функция  называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. =0.

                                                  

                                                                             2

Свойство непрерывности является локальным свойством, т.е. зависит от поведения функции лишь вблизи точки . Функция может быть непрерывна в одних и не быть таковой в других точках.

 Пример 1.  . . .

Пример 2. . .

 Пример 3.  .  . .

.

Пример 4. .

  При | |≤    имеем | |≤| | (см. параграф 19). Если | |> , то

 | |< | |, т.к. |  |<1. Так что | |≤| |,

| |= | - |=|2 |≤2∙1∙ , т.е  непрерывна в любой точке.

  Если известно, что функция  непрерывна в точке , то при вычислении предела  достаточно приравнять его

Пример 5. .

 

                   26. Непрерывность суммы,

                     произведения, частного

Теорема 1. Если функции  и непрерывны в точке , то функции  непрерывны в точке . Если, кроме того, ( , то непрерывна в точке .

Доказательство.     Доказательство следует из соответствующих     свойств пределов функций (параграф 17). Т.к. доказательство во всех случаях одинаково, то рассмотрим один из случаев. Докажем для . Пусть = , = .

= ∙ = ∙ .      

 Теорема легко распространяется на любое конечное число функций.

Пример 1. +…+ + . .

                                                              3

Функция  непрерывна в любой точке  тоже непрерывна в любой точке . Тогда  непрерывна в любой точке  как сумма непрерывных функций.

 

  Пример 2.  =  .   - все действительные числа, кроме нулей знаменателя. Числитель и знаменатель непрерывны .

Следовательно,   непрерывна в любой точке, в которой знаменатель отличен от нуля.

 

 

               27. Переход к пределу под знаком

                                 непрерывной функции.

                     Непрерывность сложной функции

Теорема 1. Пусть задана сложная функция (  и пусть , а функция непрерывна в точке . Тогда

Доказательство. По условию

,                                                                                                                                                                                                                                    

 

                                                                                                

Из  следует, что  >0 такое, что

| )| , , | |                                                                        

Из  по указанному >0 найдется >0 такое, что| |< ,

 x ≠ .

        Т.о. , | выполняется неравенство | , а следовательно и неравенство |  - | . Это означает, что

.Теорема доказана.

   Теорема 2. Пусть функция   непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке ) . Тогда сложная функция ( ) ) непрерывна в точке .

  Доказательство. Из определения непрерывности функции в точке следует, что определена в некоторой окружности точки .

Из непрерывности функции  и определения сложной функции 

4

следует, что сложная функция  определена в некоторой окрестности точки . Значит, имеет смысл говорить о непрерывности этой функции в точке  .

У нас выполняются все условия теоремы 1, причем

. Поэтому т.е.   непрерывна в точке . Теорема доказана.

Пример 1. . Непрерывна в любой точке (параграф 27,пример 4). . Непрерывна в любой точке .

)  непрерывна по теореме 2 в любой точке .

Пример

=( . Здесь  непрерывна при  

 

 

                      28. Односторонняя непрерывность.

                                          Точки разрыва

Определение 1. Если , то   называется непрерывной слева, а если , то называется непрерывной справа в точке .

Функция  непрерывна в точке   тогда и только тогда, когда непрерывна в точке  как слева, так и справа (теорема 1, параграф 20).

Пример 1.  .

 

     Функция непрерывна справа, не является непрерывной слева.

 Определение 2. Точка   называется точкой разрыва функции , если не выполняется условие .

Если  - точка разрыва функции f(x), то

 1. либо не существует ;

 2. либо не определена в точке ;

 3. либо  определена в точке   и имеет предел в этой точке, но .

                                                                    5

Определение 3. Точка разрыва  функции называется точкой разрыва 1 рода, если существуют конечные односторонние пределы

(оба)  и . Величина

(  называется скачком функции в точке . Если   то точка  называется точкой устранимого разрыва, а разрыв устранимым.

Определение 4. Точка разрыва  функции называется точкой разрыва 2 рода, если хотя бы один из односторонних пределов в точке    не существует.

Здесь как и всегда под пределом понимаем конечное число. Разрыв 2 рода называется бесконечным, если хотя бы один из односторонних

пределов бесконечен.

  Пример 1. , . В точке  разрыв 1 рода. Скачок

Пример 2 .

 

			±	±	±	±2
	1	0,9	0,64	0	-0,21	0	0,13

 

.

 В точке  разрыв 1 рода, устранимый.

Доопределив , устраняем разрыв. Новая функция непрерывна .

Пример 3.

. Но    Разрыв 1 рода , устранимый.   Положив , получим непрерывную функцию.

Пример 4.  .

 не существуют. (параграф 11, пример 3). Разрыв 2 рода.

    Пример 5.  ; , .Разрыв 2 рода, бесконечный.

 

             29. Пределы и точки разрыва монотонной функции

  Теорема 1. Если функция  не убывает на , то в точках  и существуют конечные или бесконечные пределы ,

. Если  не возрастает на , то

, .

Доказательство.  Пусть  не убывает на , и ограничена сверху. Тогда существует верхняя грань множества всех значений функции  для По определению верхней грани

что Возьмем Т.к. ≥ , то при  -  будет  Т.к. произвольно, то это означает, что

   Если не убывает и неограниченна сверху на , то

что  Возьмем . ( ) имеем , т.е. .

Для неубывающей функции доказательство аналогично.

Следствие. Если функция  монотонна на , то в каждой точке интервала она имеет конечные пределы как слева, так и справа.

    Доказательство. Пусть не убывает на .  будет

)≤ )≤ ), где ( ), . Поэтому

) .

Пределы  и  существует по теореме 1 и конечны по предыдущему неравенству.

Теорема 2.Если функция  монотонна на , то она может иметь разрывы только 1 рода.

   Доказательство. Все значения функции заключены между  и , т.е.  ограничена на  . В   функция  имеет конечные односторонние пределы  и +0) в силу следствия теоремы 1. Тогда если -точка разрыва, то это разрыв 1 рода. Теорема доказана.

 

 

                   30. Промежуточные значения непрерывной функции

     Определение 1. Функция называется непрерывной на ,если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция непрерывна на , если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмента, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке .

Непрерывность на промежутках других видов определяется аналогично.                                   Теорема 1 . ( теорема Больцано ).Если непрерывна на  и на концах сегмента принимает значения разных знаков, то существует по крайней мере одна внутренняя точка  этого сегмента в которой .

Доказательство. Пусть для определенности , . Разделим  пополам точкой  . Если )=0, то теорема доказана. Если , то на концах одной из половин функции принимает значения разных знаков. Обозначим эту половину через [ , ) < 0, ) > 0. Снова разделим [ ] пополам. Если ) 0, то теорема доказана. Если нет, то имеем [ ], )<0, )>0 и т.д.

 Могут быть две возможности.

1) )=0 при некотором . Теорема доказана.

2) Процесс продолжается неограниченно. Имеем систему вложенных сегментов [ ] ⊃…⊃[ ] ⊃ 0. По принципу вложенных отрезков ( параграф 23,теорема 3) существует единственная точка   такая, что , , . По условию теоремы функция непрерывна на т.е. непрерывна  и в точке . Значит  , .Т.к. , , то, переходя здесь к пределу получаем ,

, Т.к. ,то ; , то ; 

                                                            8

так что . Теорема доказана.

  Теорема 2. Если  непрерывна на и на концах сегмента принимает не равные значения, то функция на принимает любое значение, промежуточное между  и .

Доказательство. Пусть  - произвольное число, удовлетворяющее условию Рассмотрим функцию

. Она непрерывна на  причем  и . По теореме 1 т.е. .Теорема доказана.

 

 

                    33. Непрерывность обратной функции

  Определение 1. Функция называется инъективной, если для любых двух различных точек , функции

тоже различны.

Пусть   инъективна. Возьмем любую точку . Для нее найдется что , причем другой точки , , нет. Если таким образом каждой точке   мы поставим в соответствие ту единственную точку , для которой ,то на множестве Е будет определена некоторая функция переменной . Эта функция называется обратной по отношению к функции и обозначается через . Так что обратную функцию можно определить только для инъективной функции. Из определения 1 следует, что  тоже инъективна и имеют место равенство:

( ,

Пример 1.  1) . . Инъективна .

 2) .  . На  она не инъективна, т.к. На множестве функция инъективна и здесь

  Теорема 1. Всякая строго монотонная функция имеет обратную функцию.

  Доказательство. Пусть монотонно возрастает, т.е. при  <  имеем < . Это значит, что  инъективна и потому имеет обратную функцию. Теорема доказана.

Если функция  строго кусочно-монотонна в , то можно разбить на промежутки так, что в ка