Принцип вложенных отрезков

Теорема 1. Если последовательность  сходится, то любая ее подпоследовательность тоже сходится к тому же пределу, что и последовательность  

Доказательство. Пусть . Возьмем . Нужно доказать, что для , что  выполняется . Т.к. , то , что  выполняется  .

Выберем число K так чтобы . Тогда   будет , т.е. . Это означает . Теорема доказана.

Теорема 2. Если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху(снизу), то она имеет предел.

Доказательство. Пусть  не убывает и ограничена сверху. Тогда ограничено сверху множество Е членов этой последовательности. По теореме 1 параграфа 2 множество E имеет верхнюю грань a. Покажем, что a и является пределом последовательности .

По определению верхней грани  и  что . Т.к.  не убывает, то при  будет  и тем более . Т.к. , то  получаем , т.е. , . Теорема доказана.

Из доказательства видим, что каждый член неубывающей последовательности не больше ее предела.

Пример 1. , т.е. последовательность , , , … Последовательность ограничена сверху. Покажем, что  , . Используем метод математической индукции.

1. .

2. . =>

3. .

Убедимся,              что             монотонно    возрастает

. По теореме 2 существует . ; ; . .

Определение 1. Система числовых отрезков  называется системой вложенных отрезков, если .

Из определения имеем         

Теорема 3. Если , то для системы вложенных отрезков существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам системы: , .

Доказательство. Последовательность  не убывает и ограничена сверху, например числом . Последовательность  не возрастает и ограничена снизу. По теореме 2 существуют   и . По условию . Тогда . Обозначим общее значение этих пределов через c. Имеем , .

Осталось показать, что такая точка единственна. Допустим противное, т.е. пусть существует , , . Пусть . Тогда  , откуда . Т.к. , то, переходя к пределу, получим 0 < 0. Противоречие. Следовательно . Теорема доказана.

Теорема 3 носит название принципа стягивающихся отрезков. Эта теорема и теорема 1 параграфа 2 о существовании верхней грани ­– разные формы доказательства непрерывности множества R действительных чисел.

Число e

. Определена при , т.е.     .

Рассмотрим .

1.Сначала найдем . Обозначим , . Если существует , то такой же предел имеет , т.к.  .  монотонно убывает.

.  ограничено снизу, т.к. , . Значит,  имеет предел, который обозначим через e.

Т.к. , , , то .

2. Пусть теперь . Обозначим . Тогда . Отсюда , 

                               (1)

Если , то . ; . По теореме о пределе промежуточной переменной (параграф 18) из (1) имеем 

                                                                      (2)

4. Докажем, что

                                                                (3)

Положим .      При        будет . .  

5. Докажем, что

                                                                        (4)

Возьмем . Из (2) и (3) следует, что найдутся числа  и , что ,  и , .

Пусть . Тогда ,  и , т.е. при . Это означает (4).

Положим . Если , то . . .    

Логарифмы по основанию e называют натуральными логарифмами и обозначают . 

Пример.