Верхняя и нижняя грани числового множества

   Определение 1. Множество М действительных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существуют такое действительное число а, что для всякого  выполняется неравенство . Число а ограничивает множество М сверху (снизу) и называется верхней (нижней) границей множества М.

Определение 2. Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным множеством.

Пример. Множество натуральных чисел ограничено снизу, но ограниченным не является. Множество корней уравнения х² – 4=0 ограничено.

Если множество не является ограниченным (сверху, снизу), то оно называется неограниченным (сверху, снизу).

Если множество М ограниченно сверху, то оно имеет бесконечно много верхних границ, т.к. если а- верхняя граница, то любое b >а тоже является верхней границей.

Определение 3. Наименьшее из верхних границ ограниченного сверху множества называется точной верхней границей или верхней гранью. Пишут sup M или  (supremum (лат) – наивысшее).

Пример. М - множество отрицательных целых чисел, . М={x:1≤ x <2}. sup M = 2.

Верхняя грань может принадлежать самому множеству М, а может и не принадлежать ему.

Если существует такой элемент , , то  называется наибольшим или максимальным элементом множества М. Пишут =max M. Если в множестве М имеется наибольший элемент , то sup M = .

Определение 3. Наибольшая из нижних границ ограниченного снизу множества М называется точной нижней границей или нижней гранью множества М. Пишут inf M или . (infimum (лат.) - наинизшее).

Еслисуществуетэлемент  такой, что , , то  называется наименьшим элементом множества М. пишут  = min M. В этом случае inf M = .

Теорема 1. Если непустое множество М действительных чисел ограничено сверху, то оно имеет верхнюю грань.

Доказательство. Так как множество М ограничено сверху, то существует действительное число а такое, что , . Возможны два случая.

1)Множество М содержит хотя бы одно неотрицательное число.

2)Все элементы множества М отрицательны.

Сначала рассмотрим случай. 1). Отделим все неотрицательные числа и каждое из них представим в виде бесконечной десятичной дроби. Так как все эти числа ≤ а, то среди этих целых частей найдется наибольшая. Обозначим ее через .

Сохраним только те числа из М, у которых целая часть равна . У этих чисел рассмотрим первые десятичные знаки. Наибольший из них обозначим через  и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим действительное число … … Покажем, что  – верхняя грань множества М. Для этого нужно доказать: а)  – верхняя граница, т. е.  будет ; b)   - наименьшая из верхних границ. Это доказать можно так: если   - наименьшая из верхних границ, то если взять любое действительное число   , то найдется , x .

Итак, сначала докажем, что   - верхняя граница. Ясно, что . Поэтому для любого отрицательного числа  будет x< . Пусть х – произвольное отрицательное число из М, x

По построению  имеем  ≤ . Если  < , то x<  и   - верхняя граница. Если = , то по построению  имеем x₁ ≤ . Если здесь x₁ < , то x< , т. е.   - верхняя граница.

Продолжая этот процесс неограниченно, получим либо x< , либо бесконечное множество равенств = , x₁ = , … , x_n =  ,… В этом случае х = , т. е. и здесь   - верхняя граница.

Осталось доказать, что   - наименьшая из верхних границ. Возьмем произвольное действительное число х' < , х' = х'₀, x'₁x'₂… x'_n … Т. к. х' < , то найдется номер k такой, что

                               х'₀ = , x'₁=  … x'_k-1= , x'_k < .                   (1)

С другой стороны, число   строилась так, что среди элементов множества М найдется число х=х₀, x₁ х₂… x_n… такое, что

                                х₀ = , x₁=  … x_k-1= , x_k = .                (2)

Сопоставив (1) и (2), имеем х>х', . Таким образом   - верхняя грань.

Случай 2), когда все элементы множества М отрицательны. Метод доказательства остается тот же. Число  строим так: - наименьшая из целых частей (без знака),  – наименьший из первых десятичных знаков и т.д. Получим отрицательное действительное число … … Аналогично 1) доказываем, что =supM. Теорема доказана.

Теорема 2. Если непустое множество M действительных чисел ограничено снизу, то оно имеет нижнюю грань. (Доказательство аналогично).

Следствие. Всякое непустое ограниченное множество действительных чисел имеет верхнюю и нижнюю грани.

Если множество M неограниченно сверху (снизу), то никакое действительное число не может являться верхней (нижней) гранью. По определению полагаем supM=+∞ (infM= -∞).

Пример. 1) M = {1, . supM = max M =1. inf M = 0. 0 ∉ М, .

       2) М = {1,2,…,n,…}. supM =+∞. infM = minM =1. .