Свойства функции, имеющей предел

Теорема 1. Если  и A < C, то существует окрестность точки x₀ такая, что во всех точках этой окрестности, кроме, быть может, самой токи x₀, выполняется неравенство .

Доказательство. Возьмем ε = C – A. Так как , то  такое, что при  выполняется , т.е. . Теорема доказана.

Теорема 2. Если  и A > C, то существует окрестность точки x₀ такая, что во всех точках этой окрестности, кроме, быть может, самой токи x₀, выполняется неравенство .

Доказательство. Возьмем ε = A – C. , что при  выполняется , т.е. . Но  и  в этой окрестности. Теорема доказана.

Теорема 3. Если  и для всех  из некоторой окрестности точки  выполняется неравенство , то .

Доказательство. От противного. Пусть A > C. Тогда по теореме 2  из некоторой окрестности будет . Противоречие с условием теоремы. Теорема доказана.

Теорема 4. Если функция имеет предел в точке , то она ограничена в достаточно малой окрестности этой точки.

Доказательство. Пусть . Возьмем . , что    при  всех x, . Так как , то , т.е. , . Теорема доказана.

Бесконечно малые функции

Определение1. Функция  называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при , если

Полагая в определении предела функции в точки по Коши A = 0, определение 1 запишем:   называется бесконечно малой, если  такое, что ,  выполняется неравенство .

Теорема 1.     тогда и только тогда, когда  из достаточно малой окрестности токи , где  – бесконечна малая при .

Доказательство. Необходимость. Пусть , т.е. , что . Обозначим . Тогда  для тех же x, т.е.  – бесконечна малая и .

Достаточность. ,  – бесконечна малая в токи , т.е. , . Значит  при тех же x, т.е. . Теорема доказана.

Лемма 1. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство. Пусть  и  – две бесконечно малые в точке . Возьмем . Для , что

                         .   (1)

и , что

                                         .   (2)

Пусть min{ } = . Если , то (1) и (2) выполняются одновременно. Имеем ,

т.е.  - бесконечно малые в точке . Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть функция  ограничена в некоторой окрестности точки , а  – бесконечна малая в токе . Тогда  – бесконечно малая в точке .

Доказательство. По условию теоремы . Возьмем . Т.к.  – бесконечно малая в точке , то для   найдется , что . Пусть min{ } = . Тогда если , то  = ε. Лемма доказана.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой на постоянную есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.

Теоремы о пределах функций

Предел абсолютной величины.

Теорема 1. Если , то .

Доказательство. Дано , т.е. , если , , т.е.                                                           . Кратного . Таким  образом , , , . Теорема доказана.

Предел суммы.

Теорема 2. Если в точке  существуют пределы функции  и , то     существуют и пределы функций , причем                   .

Доказательство. Пусть , . По теореме 1 параграфа 15 , ,  и  – бесконечно малые в точке . . По лемме 1 параграфа 15  – бесконечно малые в точке . Снова по теореме 1 параграфа 15 . Теорема доказана.

Легко обобщить на любое конечное число слагаемых.

Предел произведения.

Теорема 3. Если в точке  существуют пределы функции  и , то существуют и пределы функции , причем .

Доказательство. Пусть , . Тогда , , . Скобка – бесконечно малая в точке . . Теорема доказана.

Следствие 1. , c – const.

Действительно,  .

Следствие 2. , k – натуральное число.

Действительно, .

Предел частного.

Теорема 4. Если в точке  существуют пределы функции  и , причем , то существует и предел функции , причем .

Доказательство. Пусть , . Рассмотрим разность . Здесь . Т.к. , то по теореме 2 параграфа 14 в достаточно малой окрестности точки  будет , т.е. 0 <  < . Так что  ограничена в соответствующей окрестности точки . Числитель является бесконечно малой при , т.к. . В итоге . Теорема доказана.

Пример. .