Действительной переменной

Отображение числового множества в числовое множество называется функцией одной переменной.

Определение 1. Пусть заданы два произвольных числовых множества D и E. Если каждому  поставлен в соответствие один и только один , обозначаемой через  и если при этом каждый элемент  оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному , то на множестве D задана однозначная функция  одной переменной.

Если , , то имеем действительную функцию одной действительной переменной. Множество D – область определения, E – множество значений,  – аргумент или независимая переменная. К числовым функциям приложимо все сказанное в предыдущем параграфе. Если допускать, что  может соответствовать не только одно, но и несколько значений , то функцию называют многозначной.

Область определения функции  – множество всех значений аргумента. Структура области определения зависит от конкретного смысла величин x и y и от содержания задачи. Например, если x – радиус круга, y – его площадь, т.е. , то D = (0,+∞).

Часто функция  задается формулой, причем относительно области определения и конкретного смысла величин ничего не говорится. В таких случаях под областью определения понимается множество всех действительных чисел x, на котором функция принимает действительные значения y и вместо «область определения» говорят «область существования».

Нужно учитывать, что :

1) выражение, стоящее в знаменателе, отлично от 0;

2) выражение, стоящее под знаком корня четной степени ≥ 0;

3) выражение, стоящее под знаком логарифма > 0;

4) выражение, стоящее под знаком функции арксинус или арккосинус принимает значение из [-1,1];

5) основание степени с иррациональным показателем > 0.

Пример 1. 1) . D = { },

E = { }.

2) . D = [2,+∞), E = [0,+∞).

3) . D = (0,+∞), E = (0,+∞).

Функция полностью определяется также заданием множества всех пар (x, ). Это множество является подмножеством числовой плоскости. Его изображение на координатной плоскости называют графиком функции .

График функции  – множество точек плоскости с координатами (x, ), .

Пример 2. sgn x =

Сигнум – знак (лат.) D = R, E = {-1, 0, 1}.

Пример 3.  – наибольшее целое, не превосходящее x. Антье – целое (лат.)                   [3,2] = 3, [4] = 4, [-3,2] = -4 и т.д.

D = R, E = Q – множество целых чисел.

Пример 4.

Функция Дирихле. D = R, E = {0,1}. График начертить нельзя.

Функция  и y g = (x) называются равными, если: 1) их области определения совпадают; 2) значения функций  совпадают. Пишут f (x) = g (x). Например, функции f (x) =  и g (x) = x + 1 различны, т.к. у них различны области определения (f(1) не существует, g (1) существует).

Пусть f₁ (x) и f₂(x) имеют области определения D₁ и D₂ соответственно, причем . Функция , определенная на множестве D, называется суммой функций f₁ (x) и f₂(x), если .

Аналогично определяется сумма любого конечного числа слагаемых, а также разность, произведение и частное. Определяя частное, из области D нужно исключить все точки, в которых знаменатель равен нулю.