Некоторые типы поведения функций

1. Монотонные функции.

Пусть f (x) определена на числовом множестве D. Функция f (x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на D, если  выполняется неравенство .

Если из   следует , то функция f(x) называется неубывающей (невозрастающей). Возрастающие и убывающие на D функции называются монотонными на D. Иногда неубывающие и невозрастающие функции тоже называются монотонными. В этом случае говорят о монотонности в широком смысле, а убывающие и возрастающие функции называют строго монотонными. Функция f (x) называется кусочно монотонной на некотором промежутке, если его можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых функция f (x) монотонна.

Пример. 1) . D . Монотонна возрастает. Действительно, пусть x₁ < x₂.  )² + .

1) y = [x] – неубывающая функция на R.

2) y = f (x) = x². На (-∞,0) убывает, на (0, +∞) возрастает, на (-∞,+∞) кусочно – монотонна.

2. Ограниченные и неограниченные функции.

   Функция y = f (x), определенная на множестве D, называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция f (x) ограничена сверху (снизу), если , что  выполняется неравенство . Если f (x) ограничена на D сверху и снизу, то она называется ограниченной. Ясно, что f (x) ограничена на D т.т.т., когда , что . Функция, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной. Такие функции могут принимать как угодно большие значения по абсолютной величине (аналогично для неограниченных сверху, снизу).

Геометрически, если ограничена сверху на D, т.е. , то график функции лежит ниже прямой y = A. Аналогично для ограниченных снизу, ограниченных.

Пример. y =  = . D = { }. На (-∞,0) ограничена сверху, неограничена снизу, на [1,2] ограничена, на [-1,3] не ограничена.

3. Четные и нечетные функции.

Множество D называется симметричным относительно точки x = 0, если  будет и .

Функция y = , определенная на множестве D, симметричном относительно точки x = 0, называется четной, если  = , и нечетной, если  = .

У четной функции графику вместе с точкой (x, y) принадлежит и точка ( , т.е. график симметричен относительно оси Oy. У нечетной функции вместе с точкой (x, y) на графике лежит и точка ( , т.е. график симметричен относительно начала координат.

Если две функции определены на одной и той же симметричной относительно точки x = 0 области, то сумма и разность четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная); произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная; произведение четной на нечетную есть нечетная функция.

Всякую функцию, область определения которой симметрична относительно точки x = 0, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Действительно в тождестве  =  +  первое слагаемое – функция четная, второе – нечетная.

4. Периодические функции.

Функция  называется периодической, если существует число  такое, что  выполняется равенство . Число T называется периодом функции.

Из определения видим, что если , то . Тогда                   т.е.  и 2T - тоже период. Аналогично покажем, что , kT – период, k – натуральное число. Далее                           , т.е. ( – T) – тоже период, ( – kT ) – период.

Из двух чисел T и ( - T) одно положительно. Среди всех положительных периодов может быть наименьший. Может случиться и так, что функция является периодической, но наименьшего периода не имеет.

Пример 1.

Эта функция Дирихле имеет периодом любое рациональное число r. Действительно, если x – рациональное число, то x + r – рациональное число и . Если x – иррациональное число, то x + r – иррациональное число и . Среди положительных рациональных чисел нет наименьшего, то есть  – периодическая функция, но наименьшего периода не имеет.