Арифметические операции над

Действительными числами

Пусть а=а₀,а₁а₂…a_n… - произвольное действительное число. Пусть для определенности a > 0. Оборвем дробь на k - ом знаке после запятой. Получим рациональное число а₀,а₁а₂…a_k . Увеличив его на , получим другое рациональное число а₀,а₁а₂…a_k + . По правилу сравнение действительных чисел имеем а₀,а₁а₂…a_k ≤ а₀,а₁а₂…a_k… ≤ а₀,а₁а₂…a_k + , . При увеличении k дробь  может быть сделана как угодно малой. Значит, для любого действительного числа а и любого как угодно малого числа ε < 0 найдутся рациональные числа α₁  и α₂ такие, что α₁ ≤ α ≤ α₂. α₂ - α₁ < ε.

Пусть а и b – действительные числа, α₁ ≤ а ≤ α₂, β₁ ≤ b ≤ β_2, где α₁ и α₂, β₁ и β₂ – рациональные числа, построенные как выше.

Определение 1. Суммой действительных чисел а и в назовем действительное число с, удовлетворяющим неравенствам α₁+ β₁ ≤ с ≤ α₂+ β₂.

Можно показать, что такое число с существует и единственно. Нетрудно догадаться, что этим числом является верхняя грань множества всех сумм α₁+ β₁. Это множество не пусто и ограничено сверху, т.е. имеет верхнюю грань. Она совпадает с нижней гранью множества всех сумм α₂+ β₂.

Определение 2. Разностью а – b действительных чисел а и b назовем действительное число r такое, что b + r = a.

Определение 3. Произведением положительных действительных чисел а и b назовем такое действительное число p, что α₁β₁ ≤ p ≤ α₂β₂.

Произведение действительных чисел любого вида определяется по правилу:

1) а∙0 = 0∙а = 0

2) Если а и b одного знака, то а∙b > 0, если а и b разных знаков, то а∙b < 0.

Определение 4. Частным   (b≠0) действительных чисел а и b называется число l такое, что b∙l = a.

Неравенство Бернулли.

 (m – натуральное число, х – действительное число, х>-1).

Доказательство методом математической индукции.

m = 1. Соотношение справедливо: 1+x = 1+ x.

m = k. Допустим, что справедливо

                                        .                        (1)

m = k+1. Умножим обе части неравенства (1) на 1+x >0.

То есть неравенство справедливо при любом натуральном k.

Абсолютная величина действительного числа

Число, обозначаемое через  и определенное для любого действительного числа a по формуле  называется абсолютной величиной числа a.

Теорема 1. Неравенства   и –a<x<a равносильны.

Доказательство. 1) Дано , т.е.  ,  , –a< x < a.

2)Дано –a < x < a. Значит  , .

Одно из чисел x или (-x) есть . Значит . Теорема доказана.

Теорема 2. , .

Доказательство. Если   a ≥ 0, то = a. Значит –a ≤ 0 ≤ a =  . Если a < 0, то a < 0 < - a = . Теорема доказана.

Из теорем 2 и 1 можно записать – ≤ a ≤

Теорема 3. , .

Доказательство. 1) – ≤ a ≤ , – ≤ b ≤ . Сложив эти неравенства, имеем   и по теореме 1 . 2) a=(a-b)+b. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема 4. , .

Доказательство следует из правил умножения и деления действительных чисел.

Промежутки

Множество , состоящее из множества R действительных и двух символов, или точек, - ∞ и + ∞, называется расширенным множеством действительных чисел. На символы - ∞ и + ∞ распространяется отношение порядка по правилу - ∞ < x, + ∞ > x, - ∞ < + ∞, .

Обычные действительные числа в отличии от - ∞ и + ∞ называются конечными действительными числами. По определению x + (+ ∞) = + ∞, x + (- ∞) = - ∞, ; (+∞) + ( - ∞) не имеет смысла. Для , x > 0 x ∙ (+ ∞) = + ∞, x ∙ (- ∞) = - ∞, (- x) ∙ (+∞) = - ∞, ( - x) ∙ ( - ∞) = + ∞, ( + ∞) ∙ (+ ∞) = + ∞, (- ∞) ∙ ( - ∞) = + ∞,    (+ ∞) ∙ ( - ∞) = - ∞. Не определено 0∙( + ∞) и 0 ∙ ( - ∞).

Множества действительных чисел, называемые промежутками, имеют специальные обозначения.

Удовлетворяет условиям	Обозначается	Называется	Изображается
a ≤ x ≤ b	[a,b]	Сегмент, отрезок, замкнутый промежуток.	a                          b
a < x < b	(a,b)	Интервал, открытый промежуток.	a                  b                 a                 b
a ≤ x <b	[a,b)	Полуинтервал.	a                  b       a                 b
a ≤ x a ≥ x	[a, + ∞) ( - ∞, a]	Полупрямая, луч.	A
a >x a < x	(- ∞,a) (a, + ∞)	Открытая полупрямая.	A
Множество всех дейст. чисел.	( - ∞, +∞)	Прямая.

Например, множество M = {x ϵ R, a ≤ x < b} = [a,b).

Для заданного x всякий интервал вида, (x - ε, x+ε), где ε > 0, называется ε – окрестностью или просто окрестностью числа x на числовой прямой.

Глава 2. Функции