Методы решения нестационарных задач

Обратимся к рассмотренным выше аппроксимациям нестационарных задач. Так, для краевой задачи

в , ,

, в

явная разностная схема имеет вид

, , (2.47)

.

В чем состоит метод решения системы сеточных уравнений (2.47) – в проведении вычислений по простым рекуррентным формулам.

Неявную разностную схему для рассматриваемой задачи можно записать в виде

, . (2.48)

Таким образом, для реализации шага неявной схемы следует решить систему сеточных уравнений вида

. (2.49)

Для решения этих систем линейных алгебраических уравнений можно применять различные методы: прямые – метод Гаусса и его различные модификации; итерационные.

Если область, для которой решается задача, является прямоугольником, то существуют специфические весьма эффективные методы решения системы (2.49): прямые методы – быстрое дискретное преобразование Фурье, метод циклической редукции; итерационные методы – метод переменных направлений с оптимальным выбором параметров, метод Р.П. Федоренко, или многосеточный метод (multigrid) и др.

Для довольно широкого класса задач существуют такие схемы, которые сочетают в себе достоинства явных и неявных схем: простота реализации шага почти как для явной схемы, устойчивость при любом соотношении шагов как для неявной схемы.

Продемонстрируем построение этих схем на примере следующей задачи:

в ,

в .

Предположим, что оператор не зависит от времени. Здесь мы считаем, что оператор рассматривается на функциях, удовлетворяющих краевым условиям.

Относительно оператора предположим, что

.

Предположим также, что решение систем сеточных уравнений, матрицами которых являются соответствующие сеточные операторы и , легко осуществляется и не требует больших вычислительных затрат.

В этом случае удобно рассмотреть следующую схему:

,

, .

Это схема переменных направлений, или продольно-поперечная схема. Происхождение названия схемы становится понятным, если применить ее к решению задачи

в ,

на ,

в при .

Для данной задачи схема примет вид

, ,

, .

В первом из этих уравнений схема является явной по направлению переменной и неявной по направлению переменной , а во втором уравнении – наоборот.

Еще одним примером широко используемых схем для решения эволюционных задач являются схемы, которые получаются так называемым методом расщепления.

Приведем пример схемы, полученной методом расщепления:

,

, .

Для рассмотренного примера, где , имеем

,

, .

У этой схемы много названий: локально-одномерная, дробных шагов, покоординатного расщепления.

Обе рассмотренные схемы при и абсолютно устойчивы.