Счетная устойчивость разностных схем

Мы не будем стремиться к возможной общности определения понятия счетной устойчивости разностных схем, поскольку нас, в основном, будут интересовать простейшие алгоритмические подходы к анализу качества разностных схем, аппроксимирующих задачи математической физики.

Рассмотрим задачу

в , (2.40)

в при . (2.41)

Пусть эта задача аппроксимируется разностной задачей

в , (2.42)

в при . (2.43)

Будем говорить, что разностная схема (2.42), (2.43) устойчива, если при любом , характеризующем разностную аппроксимацию, и любом имеет место соотношение

,

где , постоянные, равномерно ограниченные на и не зависящие от , , и ; пространство сеточных функций, заданных на сетке, построенной там, где определена функция , т.е. в .

Счетная устойчивость означает непрерывную зависимость решения от входных данных для дискретных задач. Это понятие аналогично понятию корректности для стационарных задач.

В самом деле, пусть наряду с задачей (2.42), (2.43) рассматривается задача с возмущенными исходными данными и . Обозначим ее решение через . Тогда для разности решений этих задач будем иметь

,

.

В силу устойчивости

.

Отсюда, если возмущения и малы, то и возмущение решения также мало.

Введено понятие устойчивости. Возникает вопрос: какие схемы и при каких условиях устойчивы.

Решение системы (2.42), (2.43) нетрудно получить формально, запишем ее в виде

,

а затем последовательно преобразуем:

Отсюда легко получить оценку

(2.44)

Здесь

.

Для явной схемы отсюда с учетом того, что , получаем

.

На самом деле здесь считается, что , так как иначе нужно уточнять, как определяется норма оператора в оценках вида

, .

Достаточным условием устойчивости явной схемы в силу (2.44) будет условие

. (2.45)

Критерий устойчивости будет выполнен, если

.

Действительно, из (2.44) при следует, что

,

т.е. критерий устойчивости выполняется с постоянными , , равномерно ограниченными на .

Для неявной схемы, ввиду того что , условие устойчивости согласно (2.44) также задается неравенством

.

Следующий вопрос: когда выполняется условие ?

Чтобы ответить на этот вопрос займемся установлением некоторых фактов для оценки норм.

Пусть , , – положительно полуопределенная матрица . Тогда справедливы следующие оценки:

1) если , то

при любых ;

2) если и , то

;

3) если и , , то

;

4) если и , то

.

Доказательство утверждения 1). В силу соотношения

имеем

.

Положим , тогда

Так как , , то при

.

Доказательство утверждения 3). Имеют место равенства

.

Так как , то .

Положим , тогда

.

Утверждения 2) и 4) очевидны.

Из этих оценок вытекает устойчивость неявной схемы и схемы Кранка – Николсона.

Таким образом, устойчивость этих схем имеет место при любом соотношении и – шагов сетки по времени и пространственным переменным.

Если устойчивость схемы имеет место при любом соотношении и , то схема называется абсолютно устойчивой.

Пример. В примере, где , введем пространство как множество сеточных функций, норма в котором определяется так:

, , ; , ,

а скалярное произведение соответственно

; , .

Покажем, что для справедливо утверждение , т.е. выполняется неравенство

, .

Доказательство этого неравенства в нашем примере строится следующим образом. Путем суммирования по частям получаем равенство

, .

Неравенство

(2.46)

доказывается точно так же, как неравенство (1.61). Неравенство (2.46) – это больше, чем положительность , это положительная определенность.

Таким образом, для рассмотренного нами примера неявная схема и схема Кранка – Николсона абсолютно устойчивы.

Об устойчивости явной схемы. Явная разностная схема устойчива только при определенном соотношении шагов по времени и по пространственным переменным. Рассмотрим пример

, , ,

,

.

Явная схема для этой задачи будет иметь вид

, ,

или

, .

Введем в пространстве сеточных функций сеточную норму

,

в и

, .

Тогда, в предположении, что , т.е. при , получим неравенства

.

Отсюда следует, что

,

где

.

Таким образом, при явная схема для рассматриваемой задачи является устойчивой. Следует отметить, что при явная схема теряет устойчивость. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта.