Аппроксимация нестационарных задач

Рассмотрим параболическое уравнение

L в (2.29)

с краевым условием

на (2.30)

и начальным условием

в . (2.31)

Аппроксимацию этой задачи проведем в два этапа.

Вначале аппроксимируем эту задачу в области по пространственным переменным. Для этого все производные по пространственным переменным аппроксимируем разностными отношениями, затем аппроксимируем граничные условия (2.30). В итоге мы получим дифференциально-разностное уравнение и начально-краевые условия

L в ,

на ,

в .

Здесь L , сеточные операторы, , , , сеточные функции. Предположим, что мы можем исключить с помощью краевых условий значения на из разностного уравнения. Тогда мы приходим к следующей задаче

,

,

где , , функции от . Сеточные функции и заданы на .

Эта задача представляет собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонент (значений) сеточной функции .

Рассмотрим эту задачу Коши

, (2.32)

при . (2.33)

Предположим, что оператор не зависит от времени. Рассмотрим простейшие аппроксимации этой задачи Коши по времени. Для удобства записи индекс будем опускать. Зависимость сеточных функций от времени будем указывать с помощью верхнего индекса. Введем равномерную сетку узлов по времени шага на промежутке . Обозначим через множество узлов сетки по времени. Введем обозначения

, .

Наиболее простыми и употребительными аппроксимациями задачи (2.32), (2.33) являются явная и неявная схемы. Явная схема имеет вид

, , (2.34)

неявная схема

, . (2.35)

Явная схема потому и называется явной, что позволяет вести счет по времени по простым, рекуррентным, ''явным'' формулам.

Наряду со схемами (2.34), (2.35) большое распространение имеет схема второго порядка аппроксимации по времени – схема Кранка – Николсона

, , (2.36)

где

или .

Схемы (2.34)-(2.36) называются двухслойными. Приведем пример многослойной схемы:

, .

Для этих схем требует уточнения вопрос о начале счета.

Разрешая схемы (2.34)-(2.36) относительно , получим, что для всех трех схем определяется из следующего рекуррентного соотношения:

, . (2.37)

Оператор называют оператором шага, а оператор оператором источника. Так:

- для явной схемы

, ;

- для неявной схемы

, ;

- для схемы Кранка - Николсона

, .

Представление (2.37) называется канонической формой двухслойных схем.

Уравнения вида (2.29) при условии, что L не содержит производных по времени называются эволюционными. Это название связано с тем, какого рода процессы описываются этими уравнениями.

В некоторых случаях при построении аппроксимации нестационарных задач удобно записывать разностные уравнения в виде системы двух уравнений, одно из которых аппроксимирует дифференциальное уравнение, а второе – начально-краевые условия. В этом случае разностный аналог задачи (2.29), (2.30), (2.31) примет вид

в , (2.38)

на (2.39)

Таким образом, так же как и для стационарных задач, для начально-краевых задач строится сеточная задача, представляющая собой систему линейных алгебраических уравнений.

Так же как и для стационарных задач, вводится понятие аппроксимации исходной задачи сеточной задачей.

Говорят, что задача (2.38), (2.39) аппроксимирует исходную задачу на точном решении с порядком по пространственным переменным и с порядком по времени, если

,

.

Как и для стационарных задач, оператор сопоставляет функции сеточную функцию из пространства сеточных функций, заданных на . Например, .

Предположив, что решение задачи (2.29)-(2.31) имеет вторые производные по времени, можно показать, что схемы (2.34), (2.35) имеют первый порядок аппроксимации по времени. В этом можно убедиться, используя разложение точного решения по формуле Тейлора. Что касается схемы (2.36), то при достаточной гладкости точного решения она имеет второй порядок аппроксимации по времени.

Пример. Рассмотрим начально-краевую задачу

в , ,

на ,

в .

Введем

,

В качестве аппроксимирующей примем задачу, записанную в операторной форме:

в ,

на ,

в .

Рассмотрим простейшую явную аппроксимацию:

,

,

,

.

Тогда

в ,

на ,

в .

Каноническая форма записи этой двухслойной схемы имеет вид

, , ,

где

,

.

Неявная схема для рассматриваемой начально-краевой задачи имеет вид

,

,

, .

Схема Кранка – Николсона

,

,

,

.