Об уравнениях в частных производных

Из всех возможных типов уравнений в частных производных мы рассмотрим только линейные уравнения, т.е. уравнения, представляющие собой линейные комбинации искомой функции и ее производных, коэффициентами которых являются известные функции. Кроме того, мы ограничимся, в основном, уравнениями, содержащими производные не выше второго порядка.

Уравнения, которые мы будем рассматривать, как правило, связаны с математической формулировкой физических задач, с математическим описанием разных физических процессов.

Различают два типа процессов – нестационарные (меняющиеся во времени) и стационарные (не меняющиеся во времени). Нестационарные процессы описываются прежде всего уравнениями параболического и гиперболического типов, а стационарные процессы – уравнениями эллиптического типа.

Начнем со стационарных задач. Простейшим представителем уравнений эллиптического типа является уравнение Лапласа

, ,

.

Мы будем его рассматривать только для случая двух независимых переменных

, .

Неоднородное уравнение

называется уравнение Пуассона.

Остановимся на формулировке краевых задач для эллиптических уравнений на примере уравнения Пуассона.

Пусть конечная область на плоскости переменных . Границу обозначим через .

Для уравнения Пуассона ставятся следующие краевые задачи. Требуется найти в замкнутой области решение , удовлетворяющее в уравнению

, , (2.1)

а на границе одному из следующих краевых условий:

для первой краевой задачи

, ; (2.2)

для второй краевой задачи

, ; (2.3)

для третьей краевой задачи

, . (2.4)

Здесь , , , заданные функции, производная по направлению внешней нормали к границе .

Первая краевая задача для уравнения Пуассона возникает, например, при отыскании положения равновесия упругой однородной мембраны, закрепленной на границе и находящейся под воздействием внешней силы .

Другая физическая задача, для которой математическим описанием служит уравнение Пуассона – это задача о стационарном распределении температуры в однородной среде. В этом случае

,

где плотность тепловых источников, коэффициент теплопроводности. В случае первой краевой задачи заданной оказывается температура на границе, во второй задаче задается тепловой поток, в случае третьей краевой задачи происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона.

Типичным представителем уравнений параболического типа является уравнение теплопроводности. В случае изотропной среды уравнение имеет вид

, , , (2.5)

где

,

коэффициент теплопроводности. При задается начальное условие

, .

На границе области задается одно из краевых условий (2.2), (2.3) или (2.4).

Простейшим примером уравнений гиперболического типа может служить уравнение колебаний струны

, , (2.6)

где скорость распространения колебаний.

Начальные и граничные условия для этого уравнения:

, , (2.7)

. (2.8)