МКЭ для уравнений 4-го порядка

Для краевой задачи

; (1.32)

(1.33)

введем понятие обобщенного решения. Для этого рассмотрим подпространство пространства . – это множество функций из , удовлетворяющих условиям (1.33).

Пусть произвольная функция. Умножим (1.32) на скалярно и проведем интегрирование по частям. Получим

,

или, короче,

. (1.34)

Решение краевой задачи (1.32), (1.33) удовлетворяет (1.34) при произвольной функции . Верно и обратное. Функция , удовлетворяющая (1.34) при любой и имеющая 4 производные является решением краевой задачи (1.32), (1.33).

Обобщенным решением задачи (1.32), (1.33) называется функция из , удовлетворяющая (1.34) при произвольной .

Чтобы применить МКЭ, нужно задать координатные функции. Согласно (1.34) нужны функции, принадлежащие , так что кусочно-линейные функции не подходят.

Построим координатные функции следующим образом. Как и ранее, введем на промежутке сетку узлов , . Каждому узлу сетки сопоставим по две координатные функции и , которые на каждом из участков являются полиномами не выше третьей степени. Эти функции можно задать с помощью следующих двух стандартных функций (рис.4):

Рис.4. Функции, задающие координатные функции кусочно-эрмитова восполнения

Эти функции равны нулю вне отрезка . На концах его, т.е. при , они удовлетворяют условиям (1.33). Кроме того:

Очевидно, что , непрерывны вместе с первыми производными при .

Теперь положим

, , .

Каждая из функций и непрерывна на вместе с первой производной и, следовательно, принадлежит . Кроме того:

При этом на каждом из отрезков функции и суть полиномы не выше третьей степени. Кроме того, отлична от нуля на , так же как и .

Пусть на отрезке задана непрерывно дифференцируемая функция . Каждому узлу сетки сопоставим по два параметра:

, .

По этому набору параметров построим функцию , являющуюся на каждом интервале полиномом не выше третьей степени и удовлетворяющую условиям

, .

Построенная функция является на каждом интервале интерполяцией по Эрмиту функции . С помощью функций , функцию можно представить так:

.

Множество функций, представимых в виде

, (1.35)

образуют конечномерное подпространство в , базис которого составляют функции , , . Обозначим это подпространство через .

Приближенное решение задачи (1.32), (1.33) определим как функцию из , удовлетворяющую уравнению

,

при произвольной функции . Тогда система уравнений для определения неизвестных коэффициентов и , примет вид

. (1.36)

Предоставив читателям все необходимые вычисления (см. А. А. Самарский и В. Б. Андреев), выпишем сеточные уравнения системы (1.36) подробно:

,

,

, , (1.37)

, ,

,

.

Матрица системы (1.36) симметрична и имеет не более семи ненулевых диагоналей. Это свойство является следствием ''почти'' ортогональности между собой базисных функций. Уравнения (1.37) несколько меньше напоминают классическую разностную схему, чем это было для уравнений второго порядка. Однако если из системы (1.37) исключить неизвестные , то для определения мы получим систему, аналогичную классической разностной схеме.