МКЭ – инженерный подход

До сих пор мы знакомились с МКЭ как с проекционным методом со специальными координатными функциями. Полезно, особенно с практической, алгоритмической стороны и для понимания сути метода, познакомиться с подходом инженеров. Широкое использование при этом матричного формализма удобно при проведении конкретных вычислений.

Для иллюстрации инженерного подхода рассмотрим пример задачи о растяжении – сжатии стержня постоянного поперечного сечения под действием сил собственного веса (рис.7). Чтобы не вводить краевых задач с новыми краевыми условиями, будем считать, что концы стержня закреплены (В. П. Суслов и др. Строительная механика корабля и теория упругости. Л.: Изд. ЛКИ, 1972).

Рис.7. Стержень с закрепленными концами

Математически эта задача формулируется в виде краевой задачи (1.4), (1.5) при , , :

, ,

, ,

где модуль Юнга, приведенная объемная сила. Эквивалентная задача о минимуме квадратичного функционала представляет собой формулировку принципа минимума потенциальной энергии.

Будем решать эту задачу приближенно. Разобьем стержень точками на конечных элементов равной длины и будем считать, что на каждом элементе приближенное решение представляется линейной функцией. Поэтому для определения приближенного решения на его достаточно знать в двух точках. Пусть эти точки – концы элемента, т.е. узлы , . Обозначим приближенное решение через , его значения на концах – через и узловые значения.

Очевидно, что

, , (1.38)

где

, ,

, ,

, ;

, называются функциями формы конечного элемента.

Пусть

,

соответственно матрица-столбец и матрица-строка. Тогда соотношение (1.38) может быть записано в виде

, . (1.39)

Подставим приближенное решение в функционал удвоенной потенциальной энергии

.

Для этого представим его сначала в виде суммы функционалов, каждый из которых определен на своем элементе. Тогда

. (1.40)

С учетом того, что , ,

. (1.41)

Учитывая (1.38), (1.39), продольную деформацию и нормальное напряжение представим в виде

,

где

матрица строка, .

Введем в рассмотрение :

.

Тогда

,

где

матрица жесткости элемента.

Далее, так как

,

то

,

где определяется следующим образом:

;

.

Вектор называется вектором узловых сил элемента.

Таким образом, удвоенная потенциальная энергия элемента записывается в виде

. (1.42)

Она представляет собой квадратичную форму узловых значений элемента.

Подставим (1.42) в (1.40), получим

. (1.43)

Очевидно, что правая часть равенства (1.43) представляет собой квадратичную форму совокупности всех узловых значений на промежутке .

Между полным вектором неизвестных

,

и вектором неизвестных на элементе имеется вполне очевидная связь:

, (1.44)

где матрица порядка следующего вида:

Справедливость этого равенства проверяется непосредственно. Матрица называется матрицей кинематических связей.

Используя (1.44), перепишем (1.43) следующим образом:

где через и обозначены:

- глобальная матрица жесткости

, (1.45)

- глобальный вектор нагрузки

. (1.46)

Таким образом, удвоенная потенциальная энергия стержня на приближенном решении записывается в виде

. (1.47)

Отсюда следует, что на приближенном решении значение потенциальной энергии есть функция переменной , условием минимума которой является обращение в нуль производных первого порядка по переменным .

Проведя дифференцирование и приравняв полученные выражения для производных к нулю после сокращения на множитель 2, получим систему уравнений

. (1.48)

Действительно, пусть

, .

Тогда

,

,

-строка системы (1.48), умноженная на 2.

Здесь следует сделать важную оговорку. Система (1.48) не дает приближенное решение нашей задачи. Дело в том, что во всех рассуждениях мы считали все узлы равноправными, поэтому оказались не учтенными условия закрепления на концах промежутка (стержня). Чтобы их учесть, нужно положить , и заменить этими уравнениями первое и последние уравнения системы (1.48). Эти два уравнения системы (1.48) представляют собой условия свободного конца – естественные условия по нашей терминологии. После такой замены получаем искомую систему уравнений.

Можно вообще исключить и из системы, после чего получим систему относительно неизвестных значений с симметричной матрицей. Обозначим ее и пусть

, .

Тогда система запишется в виде

. (1.49)

Следует отметить, что система (1.49) совпадает с системой (1.25) при , , , которая ранее в матричной форме была записана в виде

.

Отметим также, что

.

Таким образом, мы изложили два подхода к построению одной и той же системы сеточных уравнений МКЭ.

Второй, инженерный подход важен при реальных вычислениях в алгоритмическом отношении. При этом следует отметить, что на практике при вычислении глобальных матриц жесткости и вектора нагрузки вовсе не обязательно выполнять перемножения матриц и умножения матриц на векторы, которые предписываются формулами (1.45) и (1.46).

Это объясняется простотой структуры матрицы . Проиллюстрируем процесс вычисления и на примере при .

Имеем

, ,

Матрицы кинематических связей, сопоставляющие вектору векторы и , очевидно имеют вид

, .

Таким образом:

;

;

;

;

;

Из приведенных формул следует, что умножение на и сводится к соответствующему окаймлению нулевыми строками и столбцами с сохранением симметрии. Соответственно изменяется вектор при умножении слева на матрицу . Эти наблюдения и позволяют осуществлять сборку матриц и . Именно так она осуществляется при реализации соответствующих алгоритмов.

Сходимость МКЭ

Весьма важной характеристикой для вычислительной практики любого приближенного метода является скорость стремления к нулю погрешности метода. Поясним подробнее.

Пусть семейство шагов сетки и пусть . Например, при , мы будем иметь последовательность шагов сетки. Пусть каждому значению соответствует сеточное решение, полученное методом сеток или МКЭ. Обычно в методе сеток под погрешностью метода имеют в виду величину , где некоторая сеточная норма; сеточная функция, построенная по точному решению ; приближенное решение, построенное методом сеток. Обычно это значения точного решения в узлах сетки.

Говорят, что метод сеток сходится, если

при .

Приведем примеры сеточных норм. Сеточная норма

является аналогом нормы пространства непрерывных функций, сеточная норма

является аналогом нормы в пространстве .

Если для всех , меньших некоторого , , выполняется неравенство

, ,

где постоянная не зависит от , то говорят, что метод сеток сходится со скоростью .

Под сходимостью методов Ритца и Галеркина, а следовательно, и МКЭ, естественно понимать тот факт, что последовательность приближенных решений – функций – сходится к точному решению в некоторой норме при , т.е. что погрешность

при .

Если при всех , меньших некоторого , имеет место неравенство

, ,

где постоянная не зависит от , то говорят, что МКЭ сходится со скоростью .

Отличие в подходе к вопросу о сходимости метода сеток и МКЭ связано с тем, что в методе сеток искомой является сеточная функция, тогда как в МКЭ приближенное решение – это функция, имеющая ту же область задания, что и точное решение.

Обратимся вновь к краевой задаче (1.4), (1.5). Докажем, что приближенное решение , построенное МКЭ, сходится к точному.

Приближенное решение является решением следующей вариационной задачи:

;

.

Путем интегрирования по частям легко показать, что

Так как не зависит от , то будет еще и решением такой задачи на минимум:

. (1.50)

Это очень важное соотношение. Используя введенную ранее в параграфе 1.5 энергетическую норму

|| || ,

перепишем (1.50) в виде

|| || || || . (1.51)

Равенство (1.51) означает, что приближенное решение является наилучшей в смысле энергетической нормы аппроксимацией точного решения функциями из , т.е. кусочно-линейными функциями. Тем самым оценка погрешности в МКЭ, так же как в других проекционных методах, сводится к классической задаче аппроксимации функций. Следствием (1.51) является неравенство

|| || || ||, (1.52)

где кусочно-линейная функция из , построенная по значениям в узлах сетки, т.е. кусочно-линейная интерполяция . Таким образом, вопросы сходимости метода и оценка скорости сходимости сведены к выяснению поведения величины || ||.

Оценки аппроксимации

Оценим величину || || в предположении, что . Прежде всего

|| || .

Проведем оценки на . Имеем

.

Возведем равенство в квадрат и проинтегрируем по промежутку . Получим

.

Оценим выражение в квадратных скобках, расширив промежуток интегрирования:

.

Применяя к последнему интегралу неравенство Кони – Буняковского, получим

.

В итоге на каждом интервале имеем

. (1.53)

Суммируя эти оценки, получим неравенство

.

Оценим теперь . На каждом интервале справедливо представление

,

так как . Используя это представление, а также оценку (1.53), получим сначала для промежутка , а затем для всего интервала оценку

.

Таким образом, доказаны аппроксимационные неравенства

, (1.54)

|| || .

Из (1.52) и (1.54) следует, что

|| || . (1.55)

Таким образом, показано, что МКЭ сходится со скоростью в энергетической норме. В силу эквивалентности и || || имеет место сходимость и в норме пространства .