Закон изменения полной энергии

 

Теорема живых сил, речь о которой шла в предыдущем параграфе, представляет собой закон изменения кинетической энергии системы материальных точек, являющийся следствием законов механики. Однако существует другой, более фундаментальный закон физики – закон об изменении полной энергии тела, составляющий так называемое первое начало термодинамики. Этот закон гласит: изменение полной энергии любого тела (твердого, жидкого, газообразного и т.д.) равно сумме работы внешних сил и внешнему притоку тепла. Иными словами, закон об изменении полной энергии тела утверждает, что изменить эту энергию можно только за счет притока (или оттока) энергии извне - либо в виде работы внешних сил, либо в виде внешнего тепла, либо того и другого вместе взятых. В случае если работа внешних сил и приток внешнего тепла отсутствуют, полная энергия тела не изменяется. Последнее утверждение известно как закон сохранения полной энергии тела.

Относя притоки энергии к единице времени, можно говорить об интенсивности притока внешнего тепла и о мощности внешних сил:

 

(4.53)

 

где плотность внутренней энергии - внутренняя энергия единицы массы среды, ; интенсивность притока внешнего тепла (Вт). Символ используется здесь, чтобы подчеркнуть, что в общем случае величины и не являются полными дифференциалами каких-либо функций; функций состояния и не существует.

Уравнение (4.53), представляющее выражение 1-го начала термодинамики, читается так: скорость изменения полной энергии системы материальных частиц, составляющих подвижный объем , равна интенсивности притока внешнего тепла, сложенной с суммарной мощностью всех внешних сил. Важно подчеркнуть, что в этот закон входят только внешниепритоки энергии.

Если из уравнения (4.53) исключить изменение кинетической энергии с помощью уравнения (4.3), то получится уравнение, называемое уравнением притока тепла:

 

(4.54)

 

В это уравнение, определяющее скорость изменения внутренней энергии объема жидкости V(t), входят интенсивность внешнего притока тепла и мощность внутренних сил.

Преобразуя левую часть уравнения (4.54) с помощью основной формулы (4.10), получаем:

 

. (4.55)

 

Для несжимаемой жидкости , поэтому уравнение (4.55) имеет вид:

 

. (4.56)

 

Если рассматривать к тому же установившееся течение жидкости, для которого , то уравнение упрощается еще больше:

 

. (4.57)

 

Распределение температуры в трубопроводе.

Формула В.Г.Шухова.

 

Применим полученное уравнение (4.57) для расчета распределение температуры по длине участка трубопровода с постоянным диаметром при установившемся неизотермическом течении несжимаемой жидкости. Выберем контрольную поверхность , состоящую из трех частей: поперечное сечение трубы ; поперечное сечение трубы ; внутренняя поверхность трубы на участке , причем (рис. 4.14).

 

 

 

 

 

Рис. 4.14. Неизотермическое установившееся течение

жидкости в трубопроводе

 

 

Поскольку на : , на : и на : , то из (4.54) получаем:

 

.

 

Далее имеем:

 

. (4.58)

 

Примем следующие допущения:

а) Внутренняя энергия жидкости с точностью до постоянной величины определяется равенством

 

,

 

где — теплоемкость жидкости при постоянном объеме ( ); — абсолютная температура;

б) Приток внешнего тепла происходит только через поверхность трубы и определяется интегралом

 

,

 

где секундный поток тепла через единицу поверхности трубы, ( ).

в) Секундный поток тепла пропорционален разности температур жидкости в трубе и окружающей среды (формула Ньютона), так что

 

. (4.59)

 

Коэффициент , входящий в формулу (4.59), называется коэффициентом теплопередачи. Знак минус показывает, что тепло передаются в направлении от большей температуры к меньшей: , если (отбор тепла от жидкости в трубе); , если (приток тепла к жидкости в трубе);

г) Суммарная мощность диссипативных сил вязкого внутреннего трения между сечениями и можно представить как произведение мощности этих сил в единице массы жидкости (удельной мощности) и массы жидкости :

 

.

 

Используя принятые допущения, получаем из уравнения (4.58) уравнение

 

,

 

которое после деления на дает дифференциальное уравнение для температуры :

 

. (4.60)

 

Уравнение (4.60) может быть проинтегрировано в случае, если принять, что , и есть постоянные величины. Кроме того,

Если в начальном сечении трубопровода температура жидкости равна , то решение этого уравнения имеет вид:

 

, (4.61)

 

где внутренний диаметр трубопровода.

Формула (4.61) носит название формула В. Г. Шухова. (В.Г.Шухов - выдающийся русский инженер, архитектор, изобретатель и ученый, 1853-1939). Первое слагаемое в правой части этой формулы определяет изменение температуры жидкости за счет теплообмена с окружающей средой, второе слагаемое связано с нагреванием жидкости за счет диссипации механической энергии.

Вводя параметр :

 

,

 

имеющий размерность температуры и отражающий переход механической энергии в тепло, формулу В.Г.Шухова можно записать проще:

 

. (4.62)

 

Эта формула показывает, что выделение тепла при трении слоев жидкости друг относительно друга эквивалентно увеличению наружной температуры на величину .

Распределение температуры по длине участка трубопровода показано на рис. 4.16 [ ]. Из графиков на этом рисунке видно, что в случае жидкость, текущая в трубопроводе, охлаждается, наоборот, в случае, когда , жидкость нагревается. В обоих случаях .

 

Т

 

T₀

 

Рис.4.16. Распределение температуры

по длине участка трубопровода

 

Температуру жидкости в конце участка трубопровода можно вычислить с помощью решения (4.62), положив в нем . Имеем:

 

, (4.63)

 

где длина участка.

 

 

4.6. Закон изменения момента количества движения

 

Движение любой механической системы удовлетворяет еще одному общему закону механики – закону об изменении момента количества движения. Этот закон читается так: производная по времени от главного вектора момента количества движения системы материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил, приложенных к этой системе. В случае течения жидкости внутри вращающихся сосудов использование этого закона пзволяет получать весьма полезные результаты.

Применим теорему об изменении момента количества движения системы материальных точек к индивидуальному объему жидкости. Полагая в формуле (4.6) , запишем эту теорему в следующем виде:

 

(4.64)

 

Если течение жидкости установившееся, то , поэтому из уравнения (4.40) исчезает первое слагаемое в левой части, а само уравнение можно трактовать как уравнение баланса моментов количества движения в объеме жидкости, ограниченном контрольной поверхностью :

 

(4.65)

 

Уравнение Л.Эйлера для насоса

 

Применим закон об изменении момента количества движения к установившемуся течению жидкости через рабочее колесо центробежного насоса.

Центробежные насосы явлются частным случаем устройств, создающих напор. Как и всякое такое устройство, центробежный насос заставляет жидкость двигаться в направлении против напора, затрачивая для этого определенное количество энергии. Центробежный насос забирает жидкость в сечении всасывания, где давление в жидкости низкое, и заставляет ее перемещаться к сечению нагнетания, где давление в жидкости высокое. Конечно, сама по себе жидкость не будет перемещаться против давления, для этого требуется принуждающая сила. В случае центробежного насоса такой принуждающей силой являяется центробежная сила инерции, действующая на жидкость внутри быстро вращающегося рабочего колеса (ротора) насоса (рис. 4.17).

 

 

 

1

 

 

Рис. 4.17. Принцип действия центробежного насоса

 

Жидкость с низким давлением поступает в полость 1 рабочего колеса вблизи его центра, движется под действием центробежной силы инерции вдоль профилированных лопаток колеса от центра к периферии 2 в направлении против давления и выходит из колеса в трубопровод с повышенным давлением .

Если предположить, что угловая скорость вращения рабочего колеса насоса есть постоянная величина, а течениежидкости – струйное, в котором линии тока повторяют очертание лопаток колеса, то скорости течения и давления являются функциями только радиальной координаты и не зависят от времени, следовательно, течение жидкости внутри рабочего колеса можно считать установившимся. Будем считать также, что турбулизация течения и гидравлические потери отсутствуют.

Выберем контрольную поверхность состоящей из двух частей, двух соосных цилиндров и (рис. 4.18), через первую поверхность жидкость входит в колесо центробежного насоса, через вторую - выходит из колеса. Жидкость, движущаяся в рабочем колесе насоса, участвует в двух движениях: вместе с колесом (переносное движение) и относительно колеса (относительное движение). Абсолютная скорость частиц жидкости равна сумме двух скоростей – скорости переносного движения , т.е. скорости той точки колеса, с которой частица совпадает в данный момент, и скорости относительного движения жидкости вдоль лопаток колеса, так что .

Обозначим: острые углы между вектором абсолютной скорости и касательными к окружностям и , соответственно; острые углы между вектором относительной скорости и касательными к окружностям и , соответственно, рис. 4.18. Углы это углы наклона лопаток колеса к окружностям и , соответственно, т.е. они определяются конструкцией рабочего колеса насоса.

 

 

 

 

 

Рис. 4.18. План скоростей в рабочем колесе насоса

 

Применим уравнение (4.65) к контрольному объему жидкости в колесе. Вычислим левую часть этого уравнения, в которой стоит разность моментов количества движения вытекающего и втекающего в контрольный объем. Поскольку течение происходит в плоскости чертежа, то все моменты (как скоростей, так и сил) направлены по оси, перепендикулярной плоскости чертежа. Имеем:

 

,

,

следовательно,

 

. (4.66)

 

Здесь учтено, что и объемный расход жидкости (подача насоса).

На массу жидкости, заполняющей межлопастные каналы рабочего колеса, действуют внешние силы: силы тяжести, силы давления на контрольных поверхностях , , силы реакции поверхностей лопаток рабочего колеса, а также силы трения жидкости на обтекаемых поверхностях. Момент сил тяжести всегда равен нулю, т.к. плечо этих сил равно нулю (они проходят через ось вращения колеса). Момент сил давления в расчетных сечениях по этой же причине также равен нулю. Следовательно, момент всех внешних сил относительно оси вращения колеса сводится к моменту динамического воздействия рабочего колеса на протекающую через него жидкость

Уравнение (4.65) приобретает вид:

 

, (4.67)

 

где проекция вектора момента всех внешних сил, действующих на колесо, на ось, перепендикулярную плоскости чертежа.

Если обе части этого уравнения умножить на угловую скорость вращения колеса, то произведение даст мощность , передаваемую жидкости насосом, названную в п. 4.4 мощностью сторонних сил: .

Если потери в насосе отсутствуют, то из уравнения Бернулли следует равенство

 

, (4.68)

 

поэтому уравнение (4.67) можно записать в виде:

 

.

 

Учитавая, что , приходим к уравнению

 

, (4.69)

 

называемому уравнением Л.Эйлера. Это уравнение является одним из основных уравнений в теории насов.

Если известны конструктивные параметры насоса и , и , и , а также его подача и угловая скорость вращения рабочего колеса, то все гидравлические параметры, входящие в уравнение (4.69), рассчитываются по следующим формулам:

 

, , ,

.

Уравнение Л.Эйлера можно записать также в терминах давлений. С учетом (4.68) имеем:

 

,

 

откуда следует выражение для разности давлений на периферии и в центре рабочего колеса насоса:

 

. (4.70)

 

Если, , то , , поэтому максимально возможное значение перепада давлений, которое может иметь данный насос, дается выражением:

 

. (4.71)

 

Заметим, что в действительности напор и давление, развиваемые насосом, меньше теоретических значений, т.к. реальные условия работы насоса отличаются от идеальных, принятых при выводе уравнения (прежде всего, наличием гидравлических потерь). Обычно это обстоятельство учитывается введением в формулы (4.69) и (4.70) поправочных коэффициентов.

Пример. Какое максимальное дифференциальное давление может развить нефтяной насос НМ 5000-210, рассчитанный на перекачку 5000 нефти ( ), если известно, что внешний и внутренний диаметры его рабочего колеса

равны 440 и 100 мм, соответственно, а число оборотов в минуту составляет 2950?

 

Решение. Находим угловую скорость вращения рабочего колеса насоса:

 

.

 

По формуле (4.71) вычисляем :

 

(Па),

 

что составляет МПа или 19,21 атм. Если перевести это давление в дифференциальный напор насоса, то он окажется равным 223 м.

Ответ: МПа.

 

5. УРАВНЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

 

В предыдущих разделах рассматривалось применение общих теорем механики системы материальных точек к подвижному объему жидкости, то есть объему сплошной среды, состоящему из одних и тех же частиц. Основные законы механики — закон сохранения массы, закон изменения количества движения, закон изменения энергии, сформулированные в виде соотношений (4.1-4.3) и (4.43), называют уравнениями динамики среды в интегральной форме.

Важно иметь в виду, что подвижный объем , фигурирующий в этих формулах, произвольный. Если использовать это обстоятельство, то из соотношений (4.1-4.3) и (4.49) можно получить намного больше информации, чем это было сделано до сих пор, при рассмотрении некоторых задач гидравлики. В основе получения такой информации лежит известная из курса математического анализа теорема о том, что если интеграл от непрерывной функции , вычисленный по любой произвольной области , равен нулю, то в этой области тождественно равна нулю подынтегральная функция , то есть из равенства

 

 

( — произвольный объем) следует равенство

 

.

 

Таким образом, если между гидродинамическими параметрами сплошной среды существуют интегральные соотношения, справедливые для любого объема , то в каждой точке пространства, занятого этой средой, должны существовать соотношения между локальными значениями этих параметров, т.е. значениями, вычисленными в этой точке. Такие соотношения, как будет показано ниже, дают систему дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Примером могут служить дифференциальные уравнения движения сплошной среды в напряжениях (1.30), полученные в гл. 1.