Размерно-зависимые и размерно-независимые величины

Прежде, чем перейти к доказательству основной теоремы теории размерности, введем понятия о размерно-зависимых и размерно-независимых величинах.

Говорят, что величина a размерно-зависима от величин , если размерность величины a выражается через размерности этих величин по формуле

, (6.6)

т.е. существуют такие действительные числа , ,… , что равенство (6.6) выполняется. Если же таких чисел не существует, то величина a размерно-независима от величин .

Например, время t, длина l, масса m - размерно-независимые величины. Система величин: скорость, динамическая вязкость, время — также система размерно-независимых величин. Это ясно, например, из того, что в размерность вязкости входит масса, и поэтому она не может выражаться через скорость и время. Время и скорость также не могут выражаться по размерности одна через другую, поскольку в размерность скорости входит длина. Можно привести еще много примеров систем размерно-независимых величин.

Приведем пример размерно-зависимых величин. Например, давление - это величина, размерно-зависимая от динамической вязкости, ускорения свободного падения и длины. Действительно, размерность давления можно выразить через размерности трех остальных величин – вязкости, ускорения и длины. Для этого запишем размерности всех величин через размерности основных единиц:

Будем искать такие числа , и , чтобы выполнялось равенство

.

Подставив в это равенство размерности выбранных единиц через размерности основных единиц, получим

.

Приравняв показатели степеней одинаковых размерностей в правой и левой частях последнего равенства, придем к системе трех линейных уравнений

для определения трех величин , и . Эта система имеет единственное решение: . Таким образом, находим

,

что и доказывает утверждение: давление размерно-зависимо от вязкости, ускорения и длины.

Если имеется система размерных величин , то из нее всегда можно выделить подсистему, содержащую максимальное число размерно-независимых величин: , где ≤ . Делается это так. Берется величина a₁. Если она — размерная величина, то к ней добавляется величина a₂. Если a₂ имеет размерность отличную от размерности a₁ то система {a₁,a₂} состоит из размерно-независимых величин. После этого к системе величин {a₁,a₂} добавляется величина a₃. Если размерность a₃ выражается по формуле размерности через размерности величин a₁ и a₂, то берется величина a₄. Если же размерность a₃ не выражается через размерности величин a₁ и a₂, то система { } представляет собой систему размерно-независимых величин. Таким образом, перебирав все величины, входящие в систему , построим подсистему, содержащую максимальное число размерно-независимых величин.

Заметим, что если размерности всех величин выражаются через размерности L, T и M, то в такой системе имеется не более трех размерно-независимых параметров.

6.5. Доказательство основной теоремы теории размерности ( теорема Букингема)

Перейдем теперь к доказательству основной теоремы теории размерности - теоремы о том, что всякое соотношение между размерными величинами, выражающее физическую закономерность, можно записать в безразмерном (инвариантном) виде.

Пусть какая-либо физическая зависимость представляется функцией (6.5):

. (6.7)

Выделим среди размерных параметров максимальное число размерно-независимых величин. Пусть это будут величины , где ≤ . Тогда, размерности остальных параметров выражаются через размерности первых формулами

Размерность самой величины А также должна выражаться через размерности величин , поскольку если она не выражается через размерности этих величин, то она не выражается и через размерности всех величин .

Выразим размерности величин и через размерности первых аргументов , образующих подсистему размерно-независимых аргументов максимального числа

……………………………

и перепишем зависимость (6.7) в следующем виде:

где функция, получающаяся из ƒ переопределением ее аргументов.

Введем обозначения:

(6.8)

тогда

. (6.9)

Заметим, что отношения , являющиеся аргументами функции - это безразмерные величины, поскольку размерность числителя каждой дроби совпадает с размерностью ее знаменателя (поскольку так подбирались показатели степеней , ,…, ), следовательно, их численные значения не изменяются при переходе от одной системы единиц измерения к другой.

Будем теперь произвольным образом изменять единицы измерения величин . Тогда численные значения этих величин будут также произвольно меняться. Однако параметры меняться не будут, поскольку они представляют собой безразмерные величины. Следовательно, величина не может зависеть от и соотношение (6.9) приобретает следующий окончательный вид:

. (6.10)

Таким образом, получен следующий важный результат, называемый теоремой: всякую зависимость между размерными величинами, отражающую физическую закономерность, можно записать как соотношение между безразмерными комплексами. При этом число аргументов в такой зависимости сокращается на число размерно-независимых величин, входящих в аргументы ее математической записи.